Campo de Extensiones de problemas De Paolo Aluffi del Libro

Question

Este es el ejercicio 4.7, capítulo VII, de Paolo Aluffi de álgebra de libro. Lo siento por solo copiar la pregunta sin necesidad de escribir ningún desarrollo a mí mismo, no tengo una sola idea acerca de cómo utilizar las definiciones o los teoremas dados para resolver esto.

Necesito la respuesta pero lo que necesito para entender la respuesta, lento explicaciones son muy bienvenidos ( soy lento en este tema ).

Deje $k\subseteq F=k(\alpha)$ ser una simple extensión algebraica. Demostrar que $F$ es lo normal en el $k$ si y sólo si para cada extensión algebraica $F\subseteq K$ y cada $\sigma\in \rm{Aut \ }_k(K)$, $\sigma(F)=F$.

$\rm{Aut \ }_k(K)$ es el grupo de automorfismos de a $K$ arreglar el campo de $k$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Suponga que $F = k(\alpha)/k$ es normal. Deje $f \in k[X]$ ser el polinomio mínimo de a $\alpha$ y deje $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ ser sus raíces, es decir, los conjugados de la $\alpha$. Por supuesto,$\alpha_1,\ldots,\alpha_n \in k(\alpha)$. Deje $K/k(\alpha)$ ser una extensión algebraica y deje $\sigma \in \operatorname{Aut}_k(K)$. Desde $\sigma$ corrige $k$, $$f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = \sigma(0) = 0,$$ es decir, $\sigma(\alpha) = \alpha_i$ algunos $i$. Por lo $\sigma(\alpha) \in F$ y, por tanto, $\sigma(F) \subseteq F$ todos los $\sigma \in \operatorname{Aut}_k(K)$. Desde $\sigma^{-1}(F) \subseteq F$, se deduce que el $F \subseteq \sigma(F)$, por lo tanto $\sigma(F) = F$ todos los $\sigma \in \operatorname{Aut}_k(K)$.

Por el contrario, la tenemos en el hecho siguiente:

Teorema: Vamos a $M/L/k$ ser extensiones algebraicas y deje $K$ ser un algebraicamente cerrado campo que contiene $k$. Entonces cualquier $k$-incrustación $L \hookrightarrow K$ puede ser extendida a una incrustación $M \hookrightarrow K$.

Supongamos ahora que $\sigma(F) = F$ por cada $\sigma \in \operatorname{Aut}_k(K)$ donde $K/k(\alpha)$ es cualquier extensión algebraica. Deje $K$ ser una expresión algebraica cierre de $k(\alpha)$ y deje $\alpha_1,\ldots,\alpha_n \in K$ ser los conjugados de la $\alpha$. Los campos $k(\alpha_i)$ son todos isomorfo a $k(\alpha)$ $k$ (ambos son isomorfos a $k[X]/(f)$ donde $f$ es el polinomio mínimo de a $\alpha$). Por el citado teorema, el mapa compuesto $k(\alpha) \to k(\alpha_i) \hookrightarrow K$ puede ser extendida a una $k$-homomorphism $\sigma: K \to K$. Desde $K/k$ es algebraica, es un automorphism. Tenemos $\sigma(\alpha) = \alpha_i$, así que por supuesto $\alpha_i \in F$. Por lo $F$ contiene todos los conjugados de $\alpha$, es decir, $F/k$ es normal.