Cuando puedo demostrar dos topologías son las mismas, es suficiente para demostrar que tienen la misma base? Si es así, ¿por Qué?

Question

$(X, \mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$ ser topológica del espacio, y dejar que $A, B$ ser subconjunto de $X,Y$ respectivamente.

Ahora, $(X \times Y, \mathcal{T}_{X \times Y})$ ser producto de la topología. $A \times B \subconjunto X \times Y$. Considerar la topología de subespacio $\mathcal{T}_1$ $A \times B$

También, $(A, \mathcal{T}_A), (B, \mathcal{T}_B)$ donde $\mathcal{T}_A$ y $\mathcal{T}_B$ son subespacio topologías en $A, B$ respectivamente,se considere la topología $\mathcal{T}_2$ $A \times B$

Demostrar $\mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_2$

Mi idea es mostrar que las bases de $\mathcal{T}_1$ $\mathcal{T}_2$ son los mismos. donde $\mathcal{T}_1$ base es {$(A \times B) \cap (U \times V) | (U \times V) \in \mathcal{T}_{X \times Y}$}

y $\mathcal{T}_2$ base es {$U_0 \times V_0 | U_0 \in \mathcal{T}_A, V_0 \in \mathcal{T}_B$}. Yo sé cómo se muestran estas dos bases son iguales. Sin embargo, yo no se si esto es suficiente para demostrar dos topologías son iguales.

Answer 1

Es suficiente, y aquí es por qué.

Deje $(X,\mathcal{T}_1)$ $(Y,\mathcal{T}_2)$ ser espacios topológicos con la misma base $\mathcal{B}$. Por el bien de la contradicción, supongamos $\mathcal{T}_1 \neq \mathcal{T}_2$. A continuación, $\mathcal{T}_1$ contiene un elemento $V$ tal que $V\notin \mathcal{T}_2$. Desde $V \in \mathcal{T}_1$ existe una colección de elementos básicos $\{B_\alpha \}_{\alpha \in \lambda} \subseteq \mathcal{B}$ tal que $$V = \bigcup_{\alpha \in \lambda} B_\alpha $$ And since $\mathcal{B}$ is a basis for $\mathcal{T}_2$ then $\bigcup_{\alpha \en \lambda} B_\alpha$ is an element of $\mathcal{T}_2$, una contradicción.