Cómo probar que $\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \le 1.5$

Question

Tengo esta secuencia: $$\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$$

y tengo que demostrar que: $\sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \le 1.5$

Así que, básicamente, sé que esta secuencia converge el uso de la integral de la prueba, pero no sé cómo demostrar la afirmación anterior.

Alguna ayuda?

Answer 1

Según lo sugerido por Greg Martin, la serie integral de la prueba es una forma rápida de ir, pero usted puede lograr mejores estimaciones con creative telescópica. Tenemos: $$ \zeta(3)=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^3}=1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(n+1)^3}\color{red}{\leq} 1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=1+\frac{1}{4}=\color{red}{\frac{5}{4}}.\tag{1}$$ Que puede ser mejorado hasta: $$ \zeta(3) \color{red}{\leq} 1+\sum_{n\geq 2}\frac{1}{n^3-n/9} = \frac{108\log 3-109}{8}=\color{red}{1.20626}\ldots \tag{2}$$ Otra posibilidad está dada por la identidad (ver aquí, por ejemplo) $$ \zeta(3) = \frac{5}{2}\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\tag{3}$$ que puede ser demostrado a través de la creatividad telescópica, demasiado.

Solo tomando los tres primeros términos de la serie, se obtiene: $$ \zeta(3)\color{red}{\leq} \frac{1039}{864}=\color{red}{1.202546}\ldots\tag{4}$$

Answer 2

Tenemos (por $k\ge 2$) $$\sum_{n=k}^{\infty}\frac1{n^3}<\frac12\sum_{n=k}^{\infty}\frac2{n^3-n}=\frac12\sum_{n=k}^{\infty}\left(\frac1{n(n-1)}-\frac1{n(n+1)}\right)=\frac{1}{2k(k-1)}.$$

Answer 3

$$1+ \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{64} + \frac{1}{125} + \frac{1}{216} + \frac{1}{343} + \frac{1}{512} + \frac{1}{729} + \cdots < 1+ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64} + \frac{1}{512}+\frac{1}{512}+\cdots$$

De hecho, esto lo $$\mathrm{sum} < \color{red}{1 \frac{1}{3} \approx 1.333}$$

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Y fácilmente se podría mejorar cambiando la primera $\frac{1}{8}$$\frac{1}{27}$, este es el más grande de sobreestimación. Este hecho da:

$$\mathrm{sum} < \color{red}{1 \frac{53}{216} \approx 1.245}$$

Sumando la primera el 31 de términos y, a continuación, utilizando la técnica anterior, podemos llegar a la

$$\mathrm{sum} < \color{red}{1.202205}$$

Answer 4

El más sencillo es una comparación con una menor suma de Riemann: $$\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^3}\le\int_1^{\infty}\frac{\mathrm d\mkern1mux}{x^3}=\biggl[-\frac1{2x^2}\biggr]_1^{\infty}=\frac12.$$