matrices - huellas y de la raíz cuadrada

Question

Estoy tratando de mostrar que Tr$\left(\sqrt{(\mathbf{PXP}^\top)}\right) \le \text{c Tr}\left(\mathbf{P}\sqrt{\mathbf{X}}\mathbf{P}^\top \right)$

donde Tr es la traza del operador, $\mathbf{X}$ es simétrica positiva semi-definida la matriz, $\mathbf{P}$ es un no-simétrica de bajo rango de la matriz, y $c$ es una constante positiva. Es esta declaración siempre es cierto y si es así, ¿cómo puede ser demostrado?

Answer 1

Esto no es cierto. Deje $X=I_n$ y de considerar a la familia real de las matrices de la forma$P=\pmatrix{0&\epsilon\\ 0&0}\oplus0_{(n-2)\times(n-2)}$$\epsilon>0$. La desigualdad en la pregunta entonces es: $\epsilon\le c\epsilon^2$ todos los $\epsilon>0$, lo cual es evidentemente falso.