Supongamos que $f(z)$ es analítica en todos los puntos del dominio cerrado $0 \leq arg z \leq \alpha$ $(0 \leq \alpha \leq 2 \pi)$, y que $\lim_{z \to \infty}z f(z) = 0$. Necesito demostrar que si la integral de la $\displaystyle J_{1}=\int_{0}^{\infty}f(x) dx$ existe, entonces la integral de la $\displaystyle J_{2}=\int_{L}f(z)dz$ donde $L$ es el rayo $z=r e^{i \alpha}$, $0 \leq r \leq \infty$. Por otra parte, debo mostrar que $J_{1} = J_{2}$
Se me ha dado la pista para el uso del Teorema de Cauchy (no la de Cauchy de la integral de la fórmula o residuos - respuestas utilizando cualquiera de esas cosas son inútiles para mí), y el resultado de la anterior problema, que dice lo siguiente:
Si $f(z)$ es continua en el dominio cerrado $|z|\geq R_{0}$, $0 \leq arg z \leq \alpha$ $(0 \leq \alpha \leq 2 \pi)$, y si el límite de $\displaystyle \lim_{z \to \infty} zf(z) = A$ existe, $\displaystyle \lim_{R \to \infty}\int_{\displaystyle \Gamma_{R}}f(z)dz = i A \alpha$ donde $\Gamma_{R}$ es el arco del círculo $|z|=R$ acostado en el dominio dado.
Así, para este problema, puede utilizar el hecho de que $\lim_{z \to \infty}zf(z) = 0$ que $\displaystyle \lim_{r \to \infty}\int_{\displaystyle \Gamma_{r}}f(z)dz = 0$ en algún momento, supongo.
Hasta ahora, he tratado de acercarse a este problema de dos maneras diferentes.
La primera forma fue empezar con $J_{2} = \int_{L}f(z)dz$ y, a continuación, tratar de conseguir $L_{1}$ a sobresalir en algún lugar. No llegará muy lejos con eso, y de todos modos, no estoy seguro de que es correcto escribir $\int_{L}f(z)dz = \lim_{r \to \infty}\int_{0}^{2\pi}f(re^{i\alpha})ire^{i \alpha}d \alpha$. Todos estos ángulos y los argumentos son confusos mí, y no estoy totalmente seguro de lo que el dominio en el que $f(z)$ es analítica parece.
La segunda manera es empezar con $J_{1} = \int_{0}^{\infty}f(x) dx$, e intentar definir parámetros en términos de $z = re^{i \alpha}$. Pero, no estoy seguro exactamente de cómo hacer esto (de nuevo, el dominio es confuso. Trató de sacar de ella; no ayuda. Tal vez es solo que no estoy visualizando a la derecha). Entonces, en algún momento, supongo que puedo aplicar del Teorema de Cauchy y el límite dado.
Supongo que ya Cauchy Teorema está involucrado y que el límite dado va a $0$, que probablemente voy a terminar con $0 = J_{1} = J_{2}$, pero tengo un montón de ayuda y orientación para mostrar esto.
Estoy al borde de la locura, no tiene mucho tiempo para averiguar esto, y estoy empezando a entrar en pánico. Por favor, ayudar.
