Producto de la coerción y objetos genéricos

Question

Si empezamos con un modelo de $\sf ZFC$, $M$ y $(P,\le)\in M$ es una noción de forzamiento, $G\subseteq P$ un filtro genérico, a continuación, en $M[G]$ podemos definir algunos de objeto genérico de $G$. Por ejemplo, si $P$ es la tasa colapso de $\omega_1$ $\omega$ $G$define una nueva función de $f\colon\omega\to\omega_1$ que es bijective.

Ahora supongamos que tenemos un producto obligando a $P=\prod P_i$$M$, entonces el filtro genérico $G$ puede ser proyectada en cada coordinar y $G_i$ (proyección) es un filtro genérico más de $P_i$, que define algunas de objetos genéricos. A continuación, a priori, podemos pensar que el $G$ define algunos colección genérica $\{g_i\}$ tal que $g_i$ es el objeto genérico definido por $G_i$.

Así, por ejemplo, si tomamos el producto de dos Cohen-como forzamientos, añadiendo un subconjunto de a $\omega$ y el otro sumando un subconjunto de a $\omega_1$ - podemos pensar de la colección como la pareja de la nueva subconjuntos.

En Jech la Teoría de conjuntos, 3ª edición Milenio, en el capítulo correspondiente (Ch. 15) Jech se explica esto muy poco, probando algunos teoremas fundamentales acerca de esto. Sin embargo, en los ejercicios sólo hay un problema relacionado con este tema:

Deje $P$ ser la noción de forzamiento (15.1), que colinda con $\kappa$ Cohen reales. A continuación, $P$ es (isomorfo a) el producto de $\kappa$ copias de la forzando para la adición de una sola Cohen real (Ejemplo 14.2).

Esto significa, que podemos pensar en el producto de $\kappa$ Cohen forzamientos como la adición de $\{g_i\mid i<\kappa\}$ como un conjunto de $\kappa$ nuevo Cohen reales, tal y como nos podría pensar en un principio.

Sin embargo, no hay ninguna mención de este ser verdadero o falso en un marco general. Así que para mi pregunta:

Supongamos $P=\prod P_i$ es el producto de $\kappa$ copias de algunos de los $P'$ una noción fija de forzamiento, podemos asumir automáticamente que $G\subseteq P$, un filtro genérico, agrega una serie de $\kappa$ nuevos elementos genéricos, cada uno definido por un filtro genérico, $G_i$$P'$?

Si esto es cierto, entonces podemos pedir aún más:

Supongamos $P=\prod P_i$ es un producto de $\kappa$ nociones de forzamientos, podemos decir que el $G\subseteq P$, un filtro genérico, agrega un conjunto de objetos genéricos cada uno se define únicamente por $G_i$?

Answer 1

Para tu primera pregunta, sí, es cierto, en completa generalidad. Si $G$ $V$- filtro genérico del producto $\Pi_i P_i$, luego de la proyección de $G$ a cada factor, es decir, el conjunto $G_j$ que consiste en la $j^{\rm th}$ coordenadas de las condiciones en las $G$ $V$- filtro genérico para $P_j$. Esto es porque si $D\subset P_j$ es cualquier subconjunto denso de $P_j$$V$, entonces el conjunto de condiciones de $p\in \Pi_i P_i$ que tienen su $j^{\rm th}$ coordinar en $D$ es denso en el producto forzar, y por lo tanto se cumple por $G$, y por lo $G_j$ cumple con $D$.

En particular, si el producto se compone de $\kappa$ muchas copias de una sola trivial obligando noción $P'$, entonces el producto obligando agregará $\kappa$ muchas $V$-de los filtros genéricos para $P'$. Si $P'$ es trivial en el sentido de que no son incompatibles condiciones por debajo de cualquier condición dada (que es, es la división), entonces a es denso en el producto que el de los filtros genéricos $G_j$ agregado en cada uno de los factores son distintos, ya que para cualquier par de $i,j$ el conjunto de condiciones en el producto para el cual el $i^{\rm th}$ coordinar es incompatible con la $j^{\rm th}$ coordinar es denso en el producto.

Por el contrario, se puede reconstruir la totalidad del producto genérico $G$ a partir de las proyecciones de $G_j$, ya que es una condición en $G$ si y sólo si su proyección en coordenadas $j$ $G_j$ por cada $j$. Tal vez esto es lo que pides en tu segunda pregunta?

Pero no todos los de la colección de $V$-de los filtros genéricos $G_j$ $P_j$ dará lugar a un genérico para el producto forzar. Por ejemplo, podemos no ser las mismas en cada coordenada por las razones mencionadas anteriormente. La propiedad adicional de que el factor de filtros forman un filtro genérico para el producto se llama mutuo genericity.