Integral de la $\int_0^{\infty} \log(x) e^{-x^2} \mathrm{d}x = -\frac{1}{4}\sqrt{\pi} (\gamma + \log(4)).$

Question

Al intentar calcular el valor esperado $E[\log(X)]$ para una distribución normal de la variable $X$ me encontré con la siguiente integral $$\int_{0}^{\infty}\log\left(x\right) {\rm e}^{-x^{2}}\,{\rm d}x =-\,{1 \over 4}\,\,\sqrt{\,\pi\,}\,\left[\,\gamma + \log\left(4\right)\,\right] $$. ¿Alguien puede explicar esto?

Answer 1

Considere la integral

$$I(a) = \int_0^{\infty} dx \, x^a \, e^{-x^2}$$

Sub $x=y^{1/2}$ y obtener

$$I(a) = \frac12 \int_0^{\infty} dy \, y^{(a-1)/2} \, e^{-y} = \frac12 \Gamma\left ( \frac{a+1}{2}\right)$$

La integral en cuestión es

$$I'(0) =\frac12 \left [\frac{d}{da} \Gamma\left ( \frac{a+1}{2}\right)\right ]_{a=0} = \frac14 \Gamma\left (\frac12\right) \psi\left ( \frac12 \right)$$

donde

$$\Gamma\left (\frac12\right)=\sqrt{\pi}$$ $$\psi\left ( \frac12 \right) = -(\log{4}+\gamma)$$

Answer 2

Su resultado es correcto para la integral. Yo uppose que su pregunta es: ¿cómo llegar allí ? De hecho, sobre la antiderivada, integrar por partes [u = Log(x)] y se llega a
Sqrt[Pi] Log[x] Fer[x] / 2 - Sqrt[Pi] /2 Integral[Erf(x) / x dx]
El resultado de la última integración implica la hipergeométrica FPQ función.

Realmente me disculpo por esta terrible formato pero estoy casi ciego y yo no "ver" lo que estoy escribiendo.