Intuición geométrica para los derivados de las funciones trigonométricas básicas

Question

Me inspiré en esta cuestión de probar y geométricas de las pruebas para los derivados de básica de funciones trigonométricas, básicamente, aquellos que han simples representaciones sobre el círculo unidad ($\sin, \cos, \tan, \sec, \csc, \cot$):

Yo en un principio era un poco escéptico acerca de lo fácil que podría ser, pero entonces me encontré con este muy simple prueba para$\sin$$\cos$; los conocimientos básicos se puede ver en esta foto de una versión alternativa de la prueba de que he encontrado:

Básicamente, utilizamos el hecho de arc $PQ$ y el segmento de $PQ$ son los mismos que $\Delta\theta\rightarrow 0$, y el ex tiene una medida de $\Delta\theta$.

Sin embargo, he tenido ninguna suerte hasta ahora de conseguir una prueba para $\sec$; tengo la sensación de que las pruebas de $sec$ $tan$ están muy estrechamente relacionados, como son la $\csc, \cot$ pruebas.

Alguien ha visto a una prueba para los cuatro restantes funciones básicas en cualquier lugar? Quizás no he dibujado la imagen de la derecha todavía.

Otra vía posible es esta representación:

Answer 1

Sí, hay buenos explicaciones geométricas de la derivada fórmulas para todas las seis funciones trigonométricas, que debería ser mucho más conocidos. (No me atrevo a usar la palabra "prueba" de un argumento que utiliza infinitesimals.) Todos ellos están basados en el hecho siguiente acerca de los triángulos isósceles:

Para un triángulo isósceles con pequeño ángulo del vértice $d\theta$, la longitud de la base $ds$ satisface $$ ds \;\approx\; i\,d\theta $$ donde $r$ es la longitud de las piernas.

Como ya se señaló, hay una buena explicación geométrica de la derivada fórmulas para $\sin \theta$ $\cos \theta$ que utiliza este hecho. La siguiente imagen muestra un triángulo rectángulo versión de la explicación, como se opone a la unidad del círculo de la versión que dio anteriormente:

La siguiente imagen muestra una explicación geométrica de la derivada fórmulas para$\sec \theta$$\tan \theta$, de nuevo utilizando los triángulos rectángulos.

Finalmente, en la siguiente imagen se muestra una explicación geométrica de la derivada fórmulas para$\csc \theta$$\cot \theta$.

Answer 2

Este es un corolario directo de @JimBelk la maravillosa respuesta, pero pensé que sería bueno tener un conciso resumen gráfico que se lleva todos los derivados de una vez, que resulta que es bastante sencillo de realizar, a partir de la segunda unidad círculo la imagen que he publicado con mi pregunta:

El triángulo azul muestra que los derivados de la $\sin\theta$$\cos\theta$, el triángulo amarillo muestra que los derivados de la $\sec\theta$$\tan\theta$, y el salmón triángulo muestra que los derivados de la $\csc\theta$$\cot\theta$.

Debe ser sencillo para verificar esto usando triángulos semejantes y un límite de argumento para demostrar el verde de los segmentos son iguales en longitud a la de los arcos de los 3 círculos de adecuado de los radios.