La confusión con la 2-forma: $z \, dx\wedge dy$

Question

Soy un poco nuevo en las formas y orientaciones de los colectores, y estoy teniendo un poco de problemas para la comprensión de la siguiente pregunta simple.

La integral de los dos forman $w=z \, dx\wedge dy$ sobre la superficie de una esfera de radio $R$ debe dar el volumen de una esfera, $\frac{4}{3}\pi R^3$.

La pregunta es ¿por qué no rareza de $w$ $z$ matar a la integral y dar a cero, como sería de esperar en convencional integrales?

Creo que está pasando algo con la esfera, siendo una orientada al colector (yo apenas sé lo que eso significa), y por lo tanto la noción de $dx\wedge dy$ también debe voltear signo al cruzar la $xy$-plane, pero esto es una suposición y no entiendo. Es simplemente que el uso de $dx\wedge dy$ en la integral es un abuso de notación, y uno tal vez debería escribir $w=z \, dA$, así que como para no suponer una parametrización de la esfera? O es escrito $dx\wedge dy$ realmente precisa, y me estoy perdiendo algo?

Este es mi primer post aquí, así que por favor siéntase libre de enviarme alertas si mi formato o algo que no es deseable.

Gracias.

EDIT: Como @James S. Cook ha tenido la amabilidad de muestra, vemos que el cálculo funciona si cambiamos a la habitual polar ángulos. Pero, ¿no debería la pregunta que deben responder sin recurrir a los diferentes parametrización? Podemos hacer una declaración acerca de por qué la mitad superior e inferior de las contribuciones no cancela que es totalmente autónomo a las coordenadas cartesianas, $x,y,z$? Son intrínsecamente malo coordenadas para este cálculo?

Edit2: Como @James S. Cook ha señalado, tenemos una relación $$x^2+y^2+z^2=R^2.$$ Taking the $d$ of this and wedging on the right by $dy$ we can write that $$dx\wedge dy=\frac{z}{x}dy \wedge dz.$$ This expression is odd in $z$. Therefore, we can conclude that the integrand is actually not odd in $z$, ya que puede haber ingenuamente pensé... yo no soy matemático, ¿alguien puede comentar sobre la validez de este razonamiento?

Answer 1

Pregunta interesante, me gusta tu sugerencia de que esta integral debe ser trivial en la cara de $\int_S z \, dx \wedge dy$ desde $z$ es impar y simétrico, de forma que más de la esfera. Parece razonable suponer que esto es igual a cero.

Por supuesto, si $w = z \, dx \wedge dy$ $dw = dz \wedge dx \wedge dy = dx \wedge dy \wedge dz$ por lo tanto, como $S = \partial B$ donde $B$ es la sólida bola de radio $R$ tenemos: $$ \int_{\partial B} w = \int_B dw = \int_B dx \wedge dy \wedge dz = vol(B) = \frac{4}{3}\pi R^3.$$

Claramente no es cero. Pero, ¿por qué?

Para calcular en la esfera utilizamos $$ x = R \cos \theta \sin \phi, \ \ y = R\sin \theta \sin \phi, \ \ z = R \cos \phi. $$ Calculamos, $$ dx \wedge dy = (-R \sin \theta \sin \phi d \theta + R \cos \theta \cos \phi d \phi) \wedge (R \cos \theta \sin \phi d \theta + R \sin \theta \cos \phi d \phi)$$ Pero, como $d\phi \wedge d\phi = 0$ $d\theta \wedge d\theta=0$ $d\phi \wedge d\theta = -d\phi \wedge d\theta$ los anteriores simplifica muy bien a $$ dx \wedge dy = R^2 \cos \phi \sin \phi \, d\phi \wedge d\theta $$ por lo tanto, el uso de un abuso de notación, la retirada de $w$ es, $$ w = z dx \wedge dy = R^3 \cos^2 \phi \sin \phi d\phi \wedge d\theta $$ La integral de una forma en un colector se define en términos de tirar de nuevo el formulario para el espacio de parámetros y la integración de esa forma al quitar las cuñas y haciendo el habitual multivariante de las integrales. La orientación está ligada a la orden de los parámetros. En el caso habitual, ordenando $\phi, \theta$ genera un apuntando hacia afuera de lo normal. Yo hago lo mismo aquí. $$ \int_S w dx \wedge dy = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} R^3 \cos^2\phi \sin \phi \, d\phi \, d\theta = \frac{4}{3}\pi R^3. $$ En este formalismo, la razón por la $z>0$ (corresponde a $0 < \phi < \pi/2$) y $z<0$ (corresponde a $\pi/2 < \phi < \pi$) no cancelar es el $\cos\phi$ $dx \wedge dy$ es igualada por otro$\cos \phi$$z$.

Su idea de que $dx \wedge dy$ invierte el signo de arriba abajo la $xy$-plano es, en cierto sentido correcto... desde $x^2+y^2+z^2=R^2$ también podemos pensar formalmente $xdx + ydy + zdz = 0$. El $dx, dy, dz$ no son independientes aquí. Están en la esfera.

Answer 2

...el integrando no es extraño, como uno podría tener pensé ingenuamente

Asimismo, la integral de la 1-forma $w=z \, dx$ (restringida al círculo) sobre el círculo de radio $R$ (donde $z=z(x)$) debe dar a la zona de la disco, $2\pi R^2$. Sin embargo, la integración se divide en la integración de más de 2 semicírculos. En la parte inferior semi-círculo, no sólo ahora ha $z=-\sqrt{R^2-x^2}$, pero también la integración de los límites de la x-parámetro son ahora de$R/2$$-R/2$.