Transformada de Laplace y diferenciación

Question

Sea $F(s)$ sea la transformada de Laplace de $f(t)$ :

$$F\left(s\right)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f\left(t\right)dt$$

De ello se deduce que $f(t)$ puede recuperarse de $F(s)$ por la transformada inversa de Laplace:

$$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}e^{st}F\left(s\right)ds$$

A partir de la fórmula de la transformada de Laplace se puede demostrar por integración por partes que la transformada de Laplace de la derivada $f'(t)$ viene dado por $sF(s)-f(0)$ ; de modo que, aplicando de nuevo la fórmula inversa de Laplace:

$$f'\left(t\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}e^{st}\left[sF\left(s\right)-f\left(0\right)\right]ds$$

Sin embargo, si se diferencia con respecto a $t$ la fórmula de la transformada inversa de Laplace que da $f(t)$ de $F(s)$ se obtiene:

$$f'\left(t\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}e^{st}sF\left(s\right)ds$$

y de ello se deduce que la transformada de Laplace de $f'(t)$ es sólo $sF(s)$ . Como estos dos resultados son incoherentes, creo que me estoy perdiendo algo. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Consideremos la parte problemática de la integral $$- f(0) \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} ds \ e^{st}$$ La curva $\gamma$ está a la derecha de todas las singularidades del argumento. Pero no hay tales singularidades, por lo que la integral es cero. Aquí hemos supuesto que $t>0$ de modo que a medida que empujamos el contorno hacia la izquierda se suprime la integral.

Seamos un poco más cuidadosos. Por definición, la transformada de Laplace de $f(x)$ es $$F(s) = \int_0^\infty d x \ e^{-s x} f(x).$$ A partir de esta definición se puede demostrar que la transformada inversa es $$\Theta(x)f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_C ds \ e^{s x} F(s),$$ donde $C$ es el contorno apropiado, y donde $\Theta(x)$ es la función escalón de Heaviside. (Tu problema se origina por despreciar este factor en varios lugares). Pero esto implica $$\Theta(x)f'(x) + \Theta'(x) f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_C ds \ e^{s x} s F(s).$$ Observe que
$$\begin{eqnarray} \Theta'(x) f(x) &= & \delta(x)f(0) \\ &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d t e^{i x t} f(0) \\ &=& \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} d s e^{s x} f(0) \\ &=& \frac{1}{2\pi i} \int_C d s e^{s x} f(0). \end{eqnarray}$$ Aquí hemos utilizado la representación integral habitual de la función delta de Dirac, realizado el cambio de variables $t=-is$ y empujó el contorno para que coincidiera con $C$ (lo que está permitido ya que no hay singularidades).

Así, encontramos $$\Theta(x)f'(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_C ds \ e^{s x} [s F(s)-f(0)].$$ según sea necesario.