OK, he aquí un argumento que evita la estabilidad de la teoría:
Supongamos que podríamos interpretar $\mathbb{R}$ en un campo de $K\models \text{ACF}_0$. Tenga en cuenta que $K$ debe ser incontables. Por la eliminación de los imaginarios en $\text{ACF}_0$, podemos suponer que el dominio de la interpretación es definible subconjunto de $K$, definido por $\varphi(\overline{x})$, en lugar de un cociente de una definibles por el conjunto.
Deje $A$ ser el conjunto finito de parámetros utilizados en la interpretación (es decir, en $\varphi$, así como en las fórmulas de la definición de las operaciones de campo en el interpretados copia de $\mathbb{R}$), y deje $F$ ser el algebraicas cierre de la subcampo de $\mathbb{C}$ generado por $A$. Tenga en cuenta que $F$ es contable, y para cualquier $b\in K\setminus F$, hay un automorphism de $K$ que corrige $F$ pointwise sino que se mueve a $b$ (extender $\{b\}$ a una trascendencia de base para $K$$F$, y permutar la base).
Ahora desde $\mathbb{R}$ es incontable, hay una tupla $\overline{a}$ satisfacción $\varphi(\overline{x})$ tal que una de las entradas de $a_i$ de la tupla no es en $F$. Deje $\sigma\in \text{Aut}(K)$ fix $F$ pointwise sino que se mueven $a_i$. A continuación, $\sigma$ induce un automorphism de la interpretan copia de$\mathbb{R}$, lo que mueve a $\overline{a}$. Esto contradice el hecho de que $\mathbb{R}$ no tiene no trivial de automorfismos, QED.
Tenga en cuenta que este argumento no no muestran que $\text{Th}(\mathbb{R})$ no es interpretable en $\text{Th}(\mathbb{C})$, sólo que no hay incontables modelo rígido de esta teoría (por ejemplo, $\mathbb{R}$ o cualquier innumerables subcampo) está en la imagen de tal interpretación. De ahí que también muestra que los $\text{Th}(\mathbb{R})$ $\text{Th}(\mathbb{C})$ no son bi-interpretables.
Como se explicó en la pregunta, $\text{Th}(\mathbb{R})$ en realidad no es interpretable en $\text{Th}(\mathbb{C})$ - sería interesante ver una prueba de esto que evita la estabilidad de la teoría.
