Cuando se hace un cuadro en $\mathbb{R}^n$ surgir de un sistema de coordenadas?

Question

Supongamos que tengo $n$ linealmente independiente de vectores de los campos definidos en $\mathbb{R}^n$. ¿En qué circunstancias se $\partial/\partial_i$ por algún sistema de coordenadas global en $\mathbb{R}^n$?

Voy a etiquetar esta con topología algebraica, porque tengo la sospecha de que puedan llegar a la respuesta.

Answer 1

Deje $\Bbb R^n$ estar equipado con un marco de $F$ que es el estándar de una en $0$ (para nuestro suave comodidad en un segundo). Queremos saber si hay una diffeomorphism $f: \Bbb R^n \to \Bbb R^n$, de modo que (escribir el Jacobiano el uso dado por Dios de coordenadas Euclidianas) $df_x F_x = I$ (aquí, estoy escribiendo marcos como matrices, por lo $I$ es la matriz identidad, lo que representa el estándar del marco del espacio de la tangente en $f(x)$.). Entonces quiero saber si se puede resolver la ecuación de $df_x = F_x^{-1}$; convertir el conjunto de $n$ campos vectoriales $F^{-1}$ a un conjunto de $n$ 1-formas, tenemos en primer lugar tiene que saber que no son exactas. No es la primera liso obstrucción.

Una vez que usted sabe que $F^{-1}$ es exacta, si especificamos $f(0) = 0$, $f$ existe y está totalmente determinado por $df = F^{-1}$ (integrar a lo largo de caminos!). Así que ahora que en realidad tienen una función. Es un diffeomorphism? A nivel local, es ($df$ es pointwise invertible!), pero también tenemos un propio condición - Hadamard global del teorema de la función inversa dice que si $f$ es la correcta, es un diffeomorphism. Pero yo realmente no conozco a ningún razonable condiciones que nos permiten el control propio de $f$ en términos de $F$ (pero tal vez alguien más lo hace?)