El circuito dibujado está configurado efectivamente como un seguidor de emisor, con la bobina del relé actuando como resistencia de emisor. Esto significa que la tensión en el emisor seguirá la tensión en la base (menos una caída de diodo de aproximadamente 0,6V).
Para que el relé se encienda en esta configuración, la base debe tener una caída de diodo mayor que la tensión de entrada de la bobina del relé. Como regla general, la corriente de colector (que fluye a través de la bobina del relé) es aproximadamente 100 veces la corriente de base. Esta regla general le permite estimar la corriente de base requerida si conoce la cantidad de corriente que se supone que fluye a través de la bobina cuando el relé está encendido.
La corriente de la base es un problema: Suponga que tiene un relé de 12 voltios con una resistencia de bobina de 600 ohmios. Eso requiere 20 mA a través del colector, lo que significa 0,2 mA a través de la base. Pero como la fuente de alimentación es de sólo 12 voltios, incluso la conexión de la base directamente al raíl de 12 V no ayuda: las dos caídas del diodo (una para la base-emisor y otra para el diodo) dejan al emisor a 10,8 V, probablemente apenas suficiente para tirar del relé.
Si pones una resistencia entre la base y el raíl de alimentación, la cosa se pone aún peor: tirar incluso de 0,2 mA a través de una resistencia de 10k (como en tu esquema) resulta en un potencial de 2 voltios a través de la resistencia. Así que ahora tu base está a sólo 12 V - 2 V = 10V, y el relé está 1,2 V por debajo de eso, o 8,8 V. ¡Estás suministrando sólo tres cuartas partes de lo que la bobina necesita!
Es posible hacer que el circuito funcione casi sin piezas adicionales, y he incluido un esquema en esta edición para ayudar a mostrar lo que quiero decir. La diferencia básica es cambiar la posición del transistor y el relé, de modo que el transistor tire hacia abajo del lado negativo del relé en lugar de tirar hacia arriba del lado positivo. Esto se llama una configuración de emisor común.
El circuito actúa como (creo) quieres, y las únicas piezas nuevas son dos resistencias: R3 y R1. Podrías utilizar la resistencia original de 10k en lugar de R3, a costa de un consumo de corriente ligeramente mayor (1 mA frente a 0,2 mA) cuando los interruptores están todos cerrados. R1 y D1 proporcionan un camino para la corriente de la bobina cuando el transistor T1 se apaga. Puedes usar la resistencia original de 1 k para R1 si tu transistor puede soportar -10 V entre el colector y el emisor (tendrás que leer la hoja de datos para averiguarlo). R2 es opcional (verás que no he especificado ningún valor), y depende de las especificaciones de tu relé. Si tu relé está pensado para ser accionado directamente desde una fuente de 12 V, entonces R2 puede ser omitido. Cada vez que uno o más interruptores se abren, el relé cierra el contacto normalmente abierto.
simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab