¿Hasta qué punto puede uno ver sobre el océano?

Question

Puesto que la tierra es una esfera, uno tiene solamente un radio de escasa visibilidad. ¿Cuánto es eso, realmente?

Este FAQ fue inspirado por esta pregunta, sobre si Legolas ver 24 km distante jinetes de Rohan.

Answer 1

Me tienen hasta la votación de la respuesta por M. Herzkamp, pero yo también creo que hace un poco más complicado de lo que debe ser. La distancia desde el centro de la tierra a tu ojo es de $r+h$, donde $r$ es el radio de la tierra y de $h$ es la altura de sus ojos por encima de la tierra. La distancia desde el centro de la tierra a un punto en el horizonte es de $r$. La distancia desde el ojo hasta el punto en el horizonte que nos llame a $d$. Los tres lados de un triángulo rectángulo son entonces las piernas, $r$ y $d$, y la hipotenusa $r+h$. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos $$ r^2 + d^2 = (r+h)^2. $$ De ello se sigue que $$ d^2 = (r+h)^2 - r^2 $$ así $$ d=\sqrt{(r+h)^2-r^2}. $$ Este admite simplifiction: $$ d=\sqrt{(r+h)^2-r^2} = \sqrt{(r^2+2rh+h^2) - r^2} = \sqrt{2rh + h^2}. $$ Cuando $h$ es pequeña en comparación con $r$, podemos decir $$ d \approx \sqrt{2rh\,{}}. $$

Answer 2

Supongamos, un observador de altura $h$ levanta sobre una perfectamente esférica planeta de radio $r$:

Edit: aquí es una manera más fácil, haciendo uso del derecho ángulo entre la línea de visión y la radial ray. Usted puede simplemente utilizar la definición del coseno:

$$ \cos(\theta_T) = \frac{r}{r+h} \qquad \Rightarrow \qquad s = r\cdot\theta_T = r\cdot\cos^{-1}\!\!\left(\frac{r}{r+h}\right) $$

que es equivalente a la solución obtenida por el método complicado. /Edit

La distancia $s$ a el punto más lejano que se puede ver es determinado por la tangente a la semi círculo a través de su cabeza. Si usted describir el semi círculo en un sistema de coordenadas cartesianas por $$ y^2+x^2 = r^2, $$ el observador de la cabeza está en $y=r+h,\ x=0$.

Para obtener la pendiente de la tangente, sustituimos la ecuación de la tangente a $ $ y=mx+r+h$ en el circulo de la ecuación y resolver para $x$: $$ x_{1/2} = -(r+h)\frac{m}{1+m^2} \pm \sqrt{\frac{(r+h)^2m^2}{(1+m^2)^2}+\frac{r^2-b^2}{1+m^2}} $$ Esos son los dos puntos de intersección, y con el fin de tener una tangente, que debe ser igual. Ese es el caso, si el término bajo la raíz cuadrada es igual a cero. La ecuación resultante puede ser resuelto por $m$: $$ m_{\pm} = \pm \sqrt{\frac{(r+h)^2}{r^2}-1} $$ Vamos a tomar el negativo de la solución de la tangente a la derecha (no importa), y calcular el punto de tangencia: $$ x_T = -(r+h)\frac{m_-}{1+m^2_-} = \frac{r}{r+h}\sqrt{(r+h)^2-r^2} $$ La distancia de visión de ángulo es de $\theta_T = \text{asin}(x_T)$. Para obtener la distancia de visualización, podemos observar que $$ \frac{s}{2\pi r} = \frac{\theta_T}{\text{ángulo completo}} = \frac{\theta_T}{2\pi}\text{, con un ángulo en radianes} $$ $$ \Rightarrow s(h) = r\cdot\text{asin}\left(\sqrt{1-\frac{r^2}{(r+h)^2}}\right) $$ Si la parcela esta a $h$ pequeño en comparación con $r$, se asemeja a una función de raíz cuadrada, y, de hecho, $$ \lim_{h\rightarrow0^+}\frac{s(h)}{\sqrt{h}} = \sqrt{2r} $$ lo que significa que para las pequeñas alturas, la distancia de visualización puede ser descrito como $$ s(h) \approx \sqrt{2rh} $$ En la Tierra ($r\approx6371\text{km}$), una persona normal ($h\approx1.8\text{m}$) puede ver la superficie en cuanto a 4,8 km de distancia. No mucho más allá. Si tiene que subir una colina o un árbol ($h\aprox 50\text{m}$), el rango aumenta a 25 km!

Answer 3

Refracción atmosférica no puede ser descuidado. Como menciona aquí el efecto de esto puede tenerse en cuenta aproximadamente fingiendo como si el radio de la tierra es más grande por un factor de 7/6. Esto hace que la distancia $d$ al horizonte cuando la altura $h$ es mucho menos que de la tierra radio $R$ igual a

$$d = \sqrt{\frac{7}{3} R h} $$

Answer 4

Si salir a navegar, tendrás cerca de 5 millas náuticas de visibilidad (1nm = 1852m). Personalmente encuentro el nomograma una invención deliciosa:

Simplemente trazar una línea recta entre la altura del observador y la altura del objeto en el horizonte (en este caso = 0), entonces lea la gama geográfica.