Un fibrewise homeomorphism de haces de fibras es un retroceso de la plaza

Question

Sé que, dado un mapa continuo $f: X \to Y$ y un paquete de $F \to Y$, a continuación, el mapa de $f^*F \to F$ es un fibrewise homeomorphism.

Yo recuerdo vagamente la lectura de un contrario a esto: si tenemos un paquete de fibra de mapa de $\phi: E \to F$ cubriendo $f: X \to Y$ sobre la base y $\phi$ es un fibrewise homeomorphism, entonces este es un pullback cuadrado, es decir,$E \cong f^*F$.

Si esto es cierto, ¿alguien conoce de referencia para este? Husemoller es mi go-to de referencia para la fibra de paquete de la teoría, pero no pude encontrar nada allí. Si esto es falso, hay un sencillo contraejemplo?

Answer 1

He jugado alrededor y descubrió una prueba, pero me gustaría dejar de apreciar un libro de texto de referencia para este, si alguien sabe de uno.

Como de costumbre, tendremos que comprobar que el $E \to X$ cumple la característica universal de la retirada.

Otro paquete de fibra de $V \to X$, con un paquete de morfismos $\psi: V \to F$ cubriendo $f: X \to Y$ sobre la base, un conjunto de morfismos $\theta: V \to E$ cubriendo $1_X: X \to X$ sobre la base que hace que el diagrama conmuta (si existe) debe satisfacer $$\phi_x \circ \theta_x = \psi_x: V_x \to F_{f(x)}$$ on the fibre over any point $x \in X$. But since $\phi_x: E_x \F_{f(x)}$ es un homeomorphism entonces debemos tener $$\theta_x = \phi_x^{-1} \circ \psi_x.$$ Por lo tanto, una de morfismos $\theta$, si es que existe, es necesariamente único. Para mostrar la existencia, es suficiente para comprobar que el fibrewise fórmula para $\theta$ define un mapa continuo. No he comprobado la continuidad aún, pero estoy seguro de que se va a trabajar.