Supongamos que tengo un troquel en forma de un prisma rectangular que tiene ocho bordes con una longitud de $1$ unidad y cuatro bordes con una longitud de $2$ unidades por lo que hay dos caras en la que se $1$ $1$ y cuatro caras que son las $2$$1$. Si pongo este morir en la mesa en un ángulo aleatorio, ¿cuál es la probabilidad de que caiga en la cara pequeña?
Este problema es muy difícil empezar; sin embargo, he logrado formular una estrategia. Voy a necesitar usar las integrales para calcular esta probabilidad. Yo puedo representar todos los posibles ángulos de aterrizaje de morir dejando $\theta$ representan su "giro horizontal" e $\phi$ representan su "inclinación vertical":
Me voy a la necesidad de integrar más de $\phi$ $\theta$ a cuenta de todos los ángulos posibles para cada uno de$0$$2\pi$, pero no tengo idea de cómo encontrar una "función de probabilidad" de que va a hacer esto. Mi mejor conjetura es encontrar una función de $f(\theta,\phi)$ cuya salida es un valor de $0$ $1$que expresa la probabilidad de que el evento $S$ que el dado cae en una cara pequeña, dado el ángulo vertical $\phi$, lo que está escrito $P(S|\phi)$. Por supuesto, $P(S|\phi)$ será en términos de$\theta$$\phi$. Entonces mi respuesta va a ser $$P(S)=\frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}P(S|\phi)d\theta d\phi$$
Pero no tengo idea de cómo encontrar a $P(S|\phi)$. Este problema es un poco de física y un poco de la probabilidad, y no estoy muy seguro de cómo ir desde aquí.
Cualquier ayuda o sugerencias se agradece!
Respuesta
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Suponiendo que la forma tiene densidad uniforme (la composición del material), si el prisma es girado a una orientación aleatoria (uniforme distribuida), a continuación, reducido a una superficie para descansar en un rostro determinado por el centro de gravedad, la probabilidad de que sea tan desciende sobre una cara en particular, será proporcional al tamaño del ángulo sólido para el vértice de la pirámide rectangular cuya base es la cara y el vértice es el centro del prisma.
Al $a,b$ son las longitudes de los lados de la cara rectangular, y $c$ la tercera dimensión del prisma, luego de que el ángulo sólido es (en steradians) :
$$4\arcsin \left(\dfrac{ab}{\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\right)$$
Y desde el ángulo sólido de una esfera es $4\pi$ steradians, ahora tiene la probabilidad.
$$\pi^{-1}\arcsin \left(\dfrac{ab}{\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}}\right)$$
Como una verificación de la realidad, de un cubo ($a{=}b{=}c$) esto se
$$\pi^{-1}\arcsin \left(\dfrac{1}{2}\right) \qquad = \dfrac 16$$
