Insertar cuadrados en cuadrados

Question

Permitir que$ABCD$ sea un cuadrado,$AB=2a$ ¿Es posible insertar dos cuadrados disjuntos, ambos de lado$a$ en$ABCD$?

Answer 1

Deje $\mathcal C$ ser el círculo con un radio de $a$ inscrito en el cuadrado de $\mathcal A$ lado $2a$ centrado en, digamos, a punto de $O= (1,1)$ y considerar la distancia $d = d(\mathcal C,\mathcal S)$ donde $\mathcal S$ es ninguna plaza inserta en $\mathcal A$; si $\mathcal S \cap \mathcal C$ no está vacía, a continuación,$d = 0$, lo cual es evidente. En el otro lado de la plaza más grande $\mathcal S$ $\mathcal A$ e de $\mathcal C$ - y tener un punto en común con $\mathcal C$, lo $d = 0$ nuevo, tiene su diagonal igual a $(\sqrt2-1)a$ (son cuatro, cada uno colocado en una esquina de $\mathcal A$), a continuación, su longitud $l=\frac{\sqrt2-1}{2}a<a$ . En consecuencia, si $\mathcal S$ $\mathcal C$ son distintos a la fuerza a $l<a$. Por lo tanto, la respuesta al problema es negativo.

Answer 2

Supongamos que el gran cuadrado con lado de longitud $2$ $ABCD$ (a partir de $A$ en la esquina inferior izquierda y yendo hacia la derecha.) Y el pequeño cuadrado con lado de longitud $1$$EFGH$. Voy a probar que $EFGH$ debe contener $I$ (el centro de la $ABCD$) a Alguien se le ocurrió la idea, pero no recuerdo su nombre, así que no puedo dar crédito.

Voy a asumir que $E\in[AD]$ y $F\in[AB]$, es decir, dos de las esquinas de $EFGH$ están en contacto con $ABCD$. Podemos utilizar esto para demostrar que para el caso general. Pero no me siento lo suficientemente motivados para pensar acerca de ello. Creo que podemos hacerlo sólo por la traducción de $EFGH$ hasta que entre en contacto con los dos lados.

Vamos a utilizar coordenadas Cartesianas para nuestras plazas. Por lo tanto tenemos:

$A(0,0),\ B(0,2),\ C(2,2),\ D(2,0)$ $E(x,0),\ F(0,y)$

$s.t.\ 0\leq x,y\leq 1 $ $ x^2+y^2=1$

Necesitamos determinar las coordenadas de $G$$H$.

Usted puede obtener $G$ girando $E$$F$$\displaystyle\frac\pi2$.

$$(x_G-0,y_G-y)=rot_{\pi/2}(x,-y)=(y,x)$$ $$x_G=y\ ;\ y_G=y+x $$

Ahora mismo para $H$, se obtiene: $$x_H= y+x\ ;\ y_h=x$$

Ahora debemos demostrar que $I(1,1)$ está en nuestro rectángulo.

Vamos a mostrar que $I$ es de: a) bajo $(FG)$, b)$(EH)$, c) a la izquierda de $(GH)$ y d) a la derecha de $(EF)$. Sólo voy a probar los dos primeros, ya que se puede utilizar el mismo método para los demás.

a) La ecuación de $(FG)$: $Y=y+\frac{x}{y}X$ $$1\leq y+\frac xy\cdot1 = \frac{x+y^2}{y}=\frac{x+1-x^2}{y}=1+\frac{1-y}{y}+\frac{x(1-x)}{y}$$

Por lo $I$ es de $(FG)$:

b) La ecuación de $(EH)$: $Y=\frac{x}{y}(X-x)$

$$1 \geq \frac{x}{y}(1-x)=\frac{x}{y(1+x)}(1-x^2)=\frac{xy}{1+x}$$ Por lo $I$ está por encima de $(EH)$

c) y d) son verdaderas a causa de la simetría. Por lo $I$ está dentro de $EFGH$

Si dos cuadrados de lado $1$ están dentro de $ABCD$ ambos contienen $I$, por lo que no puede ser distinto.