Demuestre que la raíz cuadrada de un operador no negativo es única

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert, y $A\in B(H\to H)$ sea un operador acotado no negativo (es decir $\langle Ax,x\rangle \geq 0$ para todos $x\in H$ ). La raíz cuadrada de $A$ es un operador acotado no negativo $B\geq $ tal que $B^2=A$ .

En primer lugar, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $0\leq A\leq I$ . Tenga en cuenta que $B^2=A$ si y sólo si $$I-B=\frac{1}{2}((I-A)+(I-B)^2).$$ Por lo tanto, definimos inductivamente una secuencia $C_n$ de los operadores de la siguiente manera: $C_0:=0$ y $C_{n+1}:=1/2((I-A)+C_n^2))$ . Entonces es fácil ver que $C_n$ converge a un operador acotado no negativo $B$ en la topología del operador fuerte y también tenemos $B^2=A$ Por tanto, la raíz cuadrada existe, pero no sé cómo demostrar que es única.

Answer 1

Supongamos que $A$ es un operador acotado no negativo en un espacio de Hilbert. Sea $(p_n)$ sea una secuencia de polinomios tal que $$ p_n(x) \to \sqrt{x} $$ uniformemente para $x$ en el intervalo $[0, \|A\|]$ (el Teorema de Aproximación de Weierstass implica la existencia de tal secuencia de polinomios).

Supongamos ahora que $B$ es una raíz cuadrada no negativa de $A$ . Sea $\mathcal{B}$ denotan el álgebra cerrada de norma generada por $B$ . Entonces $\mathcal{B}$ es un conmutador $C^*$ -que contiene $B$ y $A$ (porque $A = B^2$ ). Por tanto, existe un espacio compacto de Hausdorff $K$ tal que $\mathcal{B}$ es isomorfo como $C^*$ -álgebra a $C(K)$ . Este isomorfismo preserva todos los $C^*$ propiedades. Así, $A$ corresponde a alguna función no negativa $f \in C(K)$ tomando valores en $[0, \|A\|]$ y $B$ debe corresponder a la función $\sqrt{f}$ (que es la única raíz cuadrada no negativa de $f$ en $C(K)$ ).

Porque $p_n \circ f$ converge uniformemente a $\sqrt{f}$ uniformemente en $K$ concluimos que $p_n(A)$ converge en la norma del operador a $B$ . Pero los polinomios $(p_n)$ fueron elegidos independientemente de $B$ . Así, $B$ se determina de forma única como una raíz cuadrada no negativa de $A$ .