Usar funciones de prueba para "probar" si las funciones desaparecen

Question

Deje $U$ ser un subconjunto de a $\mathbb R^n$ y deje $f \in L_{\text {loc}}^1(U)$ ($f$ es integrable en subconjuntos compactos de $U$). Supongamos $\int_U f \phi = 0$ para todas las funciones de prueba de $\phi \in C_c^\infty(U)$.

¿Esto implica que $f = 0$? Si es así, ¿por qué?

Hago esta pregunta porque estoy aprendiendo sobre el análisis de ecuaciones en derivadas parciales de Evans' libro de texto. Este hecho, o algo similar, sólo que se utiliza en todas partes, pero no puedo pensar de una rigurosa prueba. Un enfoque que he intentado es indicador aproximado de las funciones arbitrarias de subconjuntos medibles de $U$ por su mollifications, pero no he logrado conseguir que esto funcione. Me pregunto si hay un método mejor.

Answer 1

Usted puede obtener $f=0$ en casi todas partes. Tomar una $x\not= 0$, y deje $B$ ser una bola centrada en $x$, pero lo suficientemente pequeño para ser de distancia desde el origen (contenida en $U$). A continuación, tome $\phi_n \in C^{\infty}_c(B)$ a ser aproximaciones de $\chi_B$ desde abajo (sólo así se puede utilizar dominado convergencia). A continuación, para cada $n\in \mathbb{N}$, $$ \int_{U}f(x)\phi_n(x)dx = 0. $$

Entonces, desde el teorema de convergencia dominada se puede conseguir que la $$ \int_Bf(x)dx = 0. $$

Dividiendo por el volumen de la pelota, consigue $\frac{1}{|B|}\int_Bf(x)dx = 0$. El envío de la radio de la bola a cero y el uso de Lebesgue del teorema de la diferenciación, consigue $f \equiv 0$.e. en $U$. Tenga en cuenta que usted no puede garantizar la $f=0$ pointwise (solo tome $f$ no cero en un único punto).