¿Cómo puedo encontrar una matriz A para que$\operatorname{Null}(A)=U$?

Question

¿Cómo puedo encontrar una matriz$A_{ 4\times4}$ para que en dado:
ps
Obtendré:$$U=\operatorname{Span}\bigl((-4,1,4,5)^{T}\bigr)$?

Answer 1

Tome los números$a,b,c,d$ de modo que$$-4a+b+4c+5d=0.$$ For instance, $ a = 1$, $ b = 0$, $ c = 1$, $ d = 0 $. Ahora forma $$ A = \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 1&0&1&0\\ 1&0&1&0\\ 1&0&1&0\\ \end {bmatrix}. $$

Para un método más general, la proyección en el lapso de$U$, es $$ P = \ frac {uu ^ T} {u ^ Tu} = \ frac1 {58} \begin{bmatrix} 16&-4&-16&-20\\ -4&1&4&5\\ -16&4&16&20\\ -20&5&20&25 \end {bmatrix}. $$ Esto satisface$Pu=u$, así que ahora toma$A=I-P$, y luego$Au=0$. Por lo tanto, $$ A = \ frac1 {58} \begin{bmatrix} 42&4&16&20\\ 4&57&-4&-5\\ 16&-4&42&-20\\ 20&-5&-20&33 \end {bmatrix} $$

Answer 2

Necesitamos encontrar un$ 4\times 4$ matriz$ M$ que tenga rango$3$ y anahilates$(-4,1,4,5)^{T}$. Las filas de$M$ deben ser ortogonales a$(-4,1,4,5)^{T}$ y tres de las filas deben ser linealmente independientes. Un ejemplo de esto es $$ A = \begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 0&-5&0&1\\ -1&10&-1&-2\\ 1&4&-5&4\\ \end {bmatrix}. $$