Encuentre todas las funciones que satisfagan una desigualdad dada

Question

Encontrar todas las funciones $ F : R \rightarrow R $ tiene la propiedad de que para cualquier $x_1$ $x_2$ la siguiente desigualdad se cumple:

$ F(x_1) - F(x_2) \le (x_1 - x_2)^2 $

Mi intento:

Observar que

$ -(x_1 - x_2)^2 \le F(x_1) - F(x_2) \le (x_1 - x_2)^2 $

Asumir WLOG que $ x_1 - x_2 >0 $, luego tenemos

$ -(x_1 - x_2) \le (F(x_1) - F(x_2))/(x_1 - x_2) \le x_1 - x_2 $

Como $ x_1 $ tiende a $x_2$, tenemos

$ 0 \le dF/dx \le 0 $

por lo tanto

$ dF/dx = 0 $

Por lo tanto, $ F(x) = $ constante

Es esta la solución correcta? (probablemente no, porque el problema no dicen nada acerca de la función sea diferenciable) Cualquier sugerencia será muy bien, gracias.

Answer 1

Me gusta tu enfoque. Mi única observación es que usted debe dar algunos detalles más sobre esta desigualdad que se utiliza: $$\etiqueta{1} |F(x_1)-F(x_2)|\le (x_1-x_2)^2.$$ Esto es una consecuencia de la dada en el texto, a saber $$\etiqueta{2} F(x_1)-F(x_2)\le (x_1-x_2)^2,$$ porque en esto de la desigualdad de la derecha es invariante bajo permutación de $x_1, x_2$, mientras que la mano izquierda no lo es. Para que podamos actualizar (2) $$\tag{3} \max\{ F(x_1)-F(x_2), F(x_2)-F(x_1)\} \le (x_1-x_2)^2, $$ y esto es exactamente (1).

P. S. La actualización de (2) a (3) es un ejemplo de la técnica de amplificación, en palabras de Terry Tao.

Answer 2

Tenemos$$|F(x+nh)-F(x)| \le \sum_{k=1}^n|F(x+kh)-F(x+(k-1)h)|\le n h^2.$$ Let $ x = x_1$ and $ h = (x_2-x_1) / n$ so $ | F (x_2) -F (x_1) | \ le (x_2- x_1) ^ 2 / n$. Now let $ n \ a \ infty $.

Answer 3

Tiene razón, y como punto de interés, este problema es uno de los problemas del ataúd. Problema 2 en este enlace

Answer 4

Creo que querías decir abs (F (x1) -F (x2))

Answer 5

Estoy de acuerdo con el usuario Aymane Gr. Una solución alternativa es notar que, por$x$$$F(x) - F(0) = \sum_{i=1}^n F\left(i\frac{x}{n}\right)-F\left((i-1)\frac{x}{n}\right) \leq n \left(\frac{x}{n}\right)^2 = \frac {x^2}{n} \quad \forall n,$% $$F(x) = F(0)$ arbitrario.