Entender las formas diferenciales como elementos de un espacio dual

Question

Así que he estudiado bastante geometría diferencial y me siento cómodo con las formas diferenciales y las nociones relacionadas. Sin embargo, últimamente he estado dedicando tiempo a ver si realmente entiendo los objetos/conceptos que estoy utilizando todo el tiempo. Esto me ha llevado a investigar si entiendo lo que es una forma diferencial. Para nuestro propósito aquí, supongamos que todo es suave.

Originalmente, me había conformado con considerar una forma diferencial como una sección suave del haz cotangente, o como un vector base para el espacio cotangente. Sin embargo, esto significa que para cada punto $p \in M$ , donde $M$ es una variedad suave, una forma diferencial $$\omega = \sum_{i_1 \cdots i_n =1}^n f_{i_1 \cdots i_n} dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_n}$$ asigna a $p$ un funcional lineal correspondiente, llámalo $\omega_p$ .

Quiero asegurarme de que no estoy presionando con símbolos y de que realmente entiendo esto correctamente. Tomemos, por ejemplo, la forma 1 $\omega = f(x) dx$ , donde $f$ es suave. Entonces $\omega$ mapas $p$ a la función lineal $\omega_p = f(p)dx$ ? No veo cómo $f(p)dx$ es un funcional lineal.

Answer 1

Creo que has olvidado lo que el símbolo $dx$ significa. Aquí $x$ es una de las funciones de coordenadas en un gráfico en $p$ por lo que es una función suave de alguna vecindad de $p$ a $\mathbb{R}$ . Entonces $dx$ es por definición la derivada total de $x$ es decir, es el funcional en el espacio tangente a $p$ que toma un vector tangente $v$ en $p$ y emite la derivada direccional de la función de coordenadas $x$ con respecto a $v$ . Explícitamente, si sus coordenadas locales son $(x_1,\dots,x_n)$ con $x=x_i$ para algunos $i$ y piensas en $v$ como un vector $(a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{R}^n$ utilizando estas coordenadas locales, entonces $dx(v)$ sólo será $a_i$ . La función $f(p)dx$ es entonces sólo este funcional $dx$ multiplicado por el escalar $f(p)\in\mathbb{R}$ .

Answer 2

El funcional lineal $\omega_p=f(p)\,dx$ se come un vector como $\partial_x$ . Tenemos $dx(\partial_x)=1.$ Si $v=g(x)\partial_x$ entonces $\omega_p(v)=f(p)g(p)\,dx(\partial_x)=f(p)g(p).$

La acción general de una 1 forma $df$ en un vector $v$ viene dada por la bonita ecuación $$df(v)=v(f).$$