Vector bundle asociado a una gavilla localmente libre

Question

Estoy comenzando a estudiar el vector de paquetes sobre esquemas y me he encontrado con dos definiciones diferentes del vector paquete asociado a un local libre de la gavilla. Traté de entender por qué esto era el caso, pero la razón me escapa. Eisenbud y Harris decir más o menos lo siguiente acerca de él en 3264 y todos los que (ellos dicen que se acerca el projectivization de vector de paquetes, pero supongo que el comentario se aplica equitativamente bueno vector de paquetes de sí mismos):

Algunas fuentes definen el vector paquete asociado a un localmente libre gavilla de $\mathcal{E}$ $\text{Spec}(\text{Sym}(\mathcal{E}))$ en lugar de $\text{Spec}(\text{Sym}(\mathcal{E}^{\vee }))$. Este convenio se adapte mejor a la generalización de localmente libre de poleas para arbitrario coherente de las poleas.

¿Cuál es el significado preciso de esta última frase? Hay un ejemplo claro que muestra este fenómeno?

Un vector paquete de rango $r$ a través de una schene $B$ es un esquema de $E$ junto con un morfismos $\pi \colon E\to B$ junto con local trivialisations $\pi^{-1}(U_{i})\cong U_{i}\times \mathbb{A}^{r}$ con las condiciones correspondientes en los mapas de transición (restringido a cualquier afín a abrir $V=\text{Spec}(A)\subseteq U_{i}\cap U_{j}$ están dados por una lineal automorphism de $A[x_{1},...,x_{r}]$.

Mi intento de entender esto:

Traté de pensar en esto en el caso de vector de paquetes a través de una suave afín variedad de más de $\mathbb{C}$. Por ejemplo, más de $\mathbb{A}^{1}=\text{Spec}(\mathbb{C}[x])$. El cerrado puntos de $\mathbb{A}^{1}$ corresponde entonces a la máxima ideales en $\mathbb{C}[x]$, que es el anillo de funciones regulares en $\mathbb{A}^{1}$. A continuación, supongamos que tenemos el trivial de rango $2$ vector paquete de $\pi \colon E=\mathbb{A}^{1}\times \mathbb{A}^{2} \to \mathbb{A}^{1}$. Entonces existe un natural localmente libre gavilla a considerar, a saber, la gavilla $\mathcal{E}$ de las secciones locales de $\pi$. Un punto cerrado de $E$ es un ideal maximal en $\mathbb{C}[x,y,z]$ y una sección global de $\mathcal{E}$ es una de morfismos $\mathbb{A}^{1}\to \mathbb{A}^{1}\times \mathbb{A}^{2}$, lo que (creo), que corresponde a la elección de los dos mundiales secciones $f(x)$$g(x)$$\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}}$. Así que me parece que el anillo de global secciones es isomorfo al anillo de $(\mathbb{C}[x])^{2}$. Por lo tanto el global de las secciones de los correspondientes álgebra simétrica $\text{Sym}_{\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}}(\mathbb{A}^{1})}(\mathcal{E}(\mathbb{A}^{1}))=\text{Sym}_{\mathbb{C}[x]}(\mathbb{C}[x]^{2})=\mathbb{C}[x][y,z]=\mathbb{C}[x,y,z]$ es sólo $\mathcal{O}_{E}(E)$. Por lo tanto, cerrada puntos en $E$ realmente corresponden a la máxima ideales en $\text{Spec}(\text{Sym}(\mathcal{E}))$, que se suponía iba a ser la menos natural de definición (al menos la menos clásica de acuerdo a Eisenbud y Harris). Tengo la sospecha de que he cometido un error en algún lugar de este razonamiento, porque Eisenbud y Harris sugieren que los puntos de este esquema debe corresponder a las fibras, y no a los puntos del vector paquete (y porque no estoy muy familiarizado con alguno de los conceptos que estoy usando). Tengo la sospecha de que un error podría ser que yo no veo la diferencia entre el $\text{Sym}(V)$ $\text{Sym}(V^{\vee})$ , además de covariante y contravariante. Traté de averiguar la diferencia aquí, pero todavía no puedo ver ninguna diferencia clara. En esa pregunta, un usuario sugiere que las mayores diferencias aparecen en campos finitos. ¿Alguien puede demostrar esto con un ejemplo?

Y cómo puedo describir $\text{Spec}(\text{Sym}(\mathcal{E}^{\vee}))$ en igual forma explícita? En particular, el lugar donde me quedo atascado es cuando se intenta describir el grupo de $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}}$-módulo de morfismos de $\mathcal{E}$ $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{1}}$(pero tengo la sensación de que había una manera fácil de describir que simplemente no estoy viendo ahora mismo).

Answer 1

Me pasé un montón de tiempo, durante mi maestría (y todavía ahora) tratando de resolver cuestiones que aparecen con frecuencia : "debo aplicar la gavilla o su doble aquí? Que las direcciones mis flechas?", y la razón por la que es tan confuso es porque esta cuestión no ha sido resuelta de una vez por todas ; las personas siguen discutiendo acerca de la misma y no hay consenso ampliamente aceptado. Personalmente, estoy tratando de solucionarlo, al menos para mí, y creo que en el caso de esta pregunta en particular, me han hecho.

Así que aquí está el trato. Si hemos de elegir entre el$\mathcal E$$\mathcal E^{\vee}$, nuestra elección debería al menos hacer el álgebra de trabajo. Así que nos ponemos en la mayoría de los generales de configuración donde podemos pensar en tener el sector informal de la igualdad

Vector paquete = Localmente libre gavilla de finito constante de rango

y nos vamos de allí. Empecé por inspirar a mí mismo de la geometría diferencial y trabajó en la categoría de vector de paquetes a través de una arbitraria colector. En ese caso, una de morfismos de vector de paquetes de $(E \to X) \to (E' \to X')$ es una de morfismos de colectores $f : X \to X'$ emparejado con una de morfismos de vector de paquetes de $f^{\sharp} : E \to f^* E'$, la retirada de paquete. Otra manera de decirlo es que tenemos un conmutativa cuadrado formado por $f : X \to X'$ $g : E \to E'$ de manera tal que los morfismos es lineal en fibras, pero eso es un diferencial geométricos condición así que no nos fijamos en eso y centrarse en el otro lugar, el que más se asemeja a la algebro-configuración geométrica.

Así que si nos van a expulsar a la analogía con la geometría algebraica, debemos trabajar de la misma manera : una de morfismos de algebraica de vectores paquetes de $(E \to X) \to (E' \to X')$ debe ser una de morfismos de esquemas $f : X \to X'$ y un morfismos $g : E \to f^* E' = X \times_{X'} E'$ la satisfacción de algunas propiedades (esas propiedades no son importantes para la dirección de las flechas o saber si debemos poner $^{\vee}$ o no).

Ahora, para cada vector paquete de $\pi : E \to X$, asociamos el local libre gavilla de secciones $\Gamma_{E/X}$, que es literalmente lo que es : para un conjunto abierto $U$, $\Gamma_{E/X}(U)$ es la colección de secciones $U \to \pi_E^{-1}(U)$. No voy a discutir la $\mathcal O_X$-módulo de estructura de esta gavilla por el momento. En el mundo (leer: categoría) donde podemos ver un vector paquete como un localmente libre de gavilla, necesitamos identificar los morfismos de vector de paquetes con morfismos de localmente libre de las poleas.

Pero, ¿qué es un morfismos de "localmente libre de gavillas" $(X, \mathcal E) \to (X',\mathcal E')$? Así, se han definido los morfismos de esquemas $(X, \mathcal O_X) \to (X', \mathcal O_{X'})$ a través de un mapa continuo $f : X \to X'$ y un morfismos de poleas $f^{\sharp} : \mathcal O_{X'} \to f_* \mathcal O_X$. Si utilizamos el $f^{-1}/f_*$ contigüidad en esto (porque esperamos pushforward a comportarse mal en paquetes), este es el morfismos $f^{\flat} : f^{-1} \mathcal O_{X'} \to \mathcal O_X$. En otras palabras, una de morfismos de los esquemas es un mapa continuo y una de morfismos de poleas que le dice cómo retirada de las secciones. Después de la ampliación de la base, esto le da el isomorfismo $f^{\flat} : f^* \mathcal O_{X'} \to \mathcal O_X$.

¿Por qué no hacemos lo mismo para los módulos?

Definición. Una de morfismos de "localmente libre de gavillas" $(X, \mathcal E) \to (X', \mathcal E')$ es un par $(f, f^{\flat})$ donde $f : X \to X'$ es una de morfismos de esquemas y $f^{\flat} : f^{-1} \mathcal E' \to \mathcal E$ es una de morfismos de $f^{-1}\mathcal O_{X'}$-módulos, o, equivalentemente, una de morfismos $f^{\flat} : f^* \mathcal E' \to \mathcal E$.

Pero... ¡espera! Para que el vector de paquetes, tenemos una morfismos $E \to f^* E'$, y localmente libre de poleas, tenemos una morfismos $f^* \mathcal E' \to \mathcal E$! Sabemos que en la moral, en el caso de vector de paquetes que está pasando en la "correcta" de dirección. Así que ahora la cuestión es cómo conseguir que a partir de la categoría de vector de paquetes a la categoría de localmente libre de poleas y conseguir que la flecha apuntando hacia la derecha.

Supongamos que empezamos con una de morfismos de localmente libre de poleas $(X, \mathcal E) \to (X', \mathcal E')$$f^{\flat} : f^* \mathcal E' \to \mathcal E$. Aplicando el álgebra simétrica functor, obtenemos $$ \mathrm{Símbolo}(f^{\plana}) : \mathrm{Símbolo}(f^* \mathcal E') \a \mathrm{Símbolo}(\mathcal E), $$ y la aplicación de la contravariante relativa $\mathrm{Spec}$ functor, obtenemos $$ \mathbf{Spec}(\mathrm{Símbolo}(f^{\plana})) : \mathbf{Spec}(\mathrm{Símbolo}(\mathcal E)) \a \mathbf{Spec}(\mathrm{Símbolo}(f^*\mathcal E')) $$ Si queremos identificar a $\mathcal E$ o $\mathcal E^{\vee}$ a el vector paquete de $E$, se ve aquí que la aplicación de $^{\vee}$ $f^{\flat}$antes de aplicar el $\mathbf{Spec}(\mathrm{Sym}(-))$ se podría conseguir en la flecha en la dirección equivocada! Por tanto, deberíamos no se aplican $^{\vee}$, y la correcta functor es $\mathbf{Spec}(\mathrm{Sym}(-))$ localmente libre de poleas para el vector de paquetes.

En la otra dirección, si empezamos con una de morfismos de vector de paquetes de $(E \to X) \to (E' \to X')$, tenemos un morfismos de vector de paquetes de $E \to f^* E'$$X$, por lo que da una sección de $s : X \to E$, podemos componer con $E \to f^*E'$ y obtener una sección $f^* s : X \to E \to f^* E'$, es decir, tenemos un morfismos de poleas $\Gamma_{E/X} \to \Gamma_{X/f^*E'} = f^* \Gamma_{E'/X'}$. Ahora esta de morfismos no nos hace felices, es en la dirección equivocada! Por lo que se deben aplicar duales en él para conseguir la vuelta a la derecha. (Duales conmuta con retroceso; lo que usted necesita preocuparse acerca de la gavilla $\mathrm{Hom}$s, pero este es un problema manejable.)

Por lo que la identificación de "Vector paquete = Localmente libre gavilla" está dada por $$ \mathcal E \mapsto \mathbf{Spec}(\mathrm{Símbolo}(\mathcal E)), \quad E \mapsto \Gamma_{E/X}^{\vee}. $$ Es la única manera de hacerlo que categóricamente tiene sentido. Si puedo agregar o quitar $^{\vee}$ a cualquiera de los functors, las construcciones no tienen sentido ya.

Una pequeña observación; si usted no está trabajando con vector de paquetes (pero dicen coherente con poleas) y que todavía uso $\mathbf{Spec}(\mathrm{Sym}(-))$$\mathfrak{Coh}(X)$$\mathbf{Sch}_X$, en lugar de utilizar el functor $\Gamma_{E/X}$ o $\Gamma_{E/X}^{\vee}$, es mejor usar $\pi_*(-)_1$, el grado $1$ parte de la pushforward (el pushforward es una gavilla de graduados $\mathcal O_X$-álgebras). En este caso, también tiene una contigüidad $$ \mathcal M \mapsto \mathbf{Spec}(\mathrm{Símbolo}(\mathcal M)), \quad E \mapsto (\pi_* \mathcal O_E)_1 $$ No sé de nadie que haga esto, sin embargo (trabajo coherente con poleas), así que no sé lo útil que es o de lo que uno hace con eso.

EDIT : en cuanto a su intento de comprensión, considere lo siguiente. Dado un vector paquete de $\pi : E \to X$, una sección de este vector paquete de $s : X \to E$ es sólo una de morfismos de esquemas de satisfacer $\pi \circ s = \mathrm{id}_X$. Esta $s$ es una de morfismos de afín $X$-esquemas $X \to E$ que podemos re-escribir como morfismos $$ \mathbf{Spec}(\mathrm{Símbolo}(\mathcal O_X)) \simeq X \E \simeq \mathbf{Spec}(\mathrm{Símbolo}(\Gamma_{E/X}^{\vee})). $$ Tenga en cuenta que los isomorphisms son naturales por la contigüidad he descrito anteriormente.

Ya que todo es afín, el de arriba de morfismos corresponde a una de morfismos de graduados $\mathcal O_X$-álgebras $\mathrm{Sym}(\Gamma_{E/X}^{\vee}) \to \mathrm{Sym}(\mathcal O_X)$. Ambas poleas están finitely generadas $\mathcal O_X$-álgebras de grado de la $1$, por lo que esta corresponde a una de morfismos de $\mathcal O_X$-módulos de $\Gamma_{E/X}^{\vee} \to \mathcal O_X$, es decir, una sección global de la gavilla $$ \mathscr H\!\mathit{om}_{\mathcal O_X}(\Gamma_{E/X}^{\vee},\mathcal O_X) = \Gamma_{E/X}^{\v \v} \simeq \Gamma_{E/X}. $$ (estos isomorphisms son de nuevo naturales).

Volviendo a tu ejemplo, la gavilla de global de las secciones debe ser $\mathbb C[x]^{\oplus 2}$, no $\mathbb C[x]^2$; usted elija dos mundiales secciones en $\mathbb C[x]$ a través de una de morfismos de $\mathcal O_{\mathrm{Spec}(\mathbb C[x])}$-módulos de $\widetilde{\mathbb C[x]}^{\oplus 2} \to \widetilde{\mathbb C[x]}$ y aplicar $\mathbf{Spec}(\mathrm{Sym}(-))$. La razón por la que usted necesita un morfismos de $\mathbb C[x]$-módulos y no un morfismos de $\mathbb C[x]$-álgebras (como lo hizo, y erróneamente, se obtuvo $\mathbb C[x]^2$) se explica a lo largo de las líneas de mi prueba.

El detalle imprescindible que usted se saltó, geométricamente hablando, es que el correspondiente de morfismos de vector de paquetes debe ser lineal en las fibras; todo esto es capturada en las propiedades de la $\mathbf{Spec}(\mathrm{Sym}(-))$ functor desde que se crea el correspondiente morfismos en una de morfismos de $\mathcal O_X$-módulos (que es una construcción lineal, no es un polinomio).

Pero después de todo, $\mathbb C[x]^2$ $\mathbb C[x]^{\oplus 2}$ son iguales como conjuntos, por lo que no estaban lejos. Usted simplemente no estaban buscando un anillo de global secciones, pero para un $\mathcal O_X$-módulo de secciones.

Espero que ayude,