¿Cómo se obtiene un vector normal a partir de la ecuación de una recta?

Question

He visto que para encontrar un vector normal a una línea como $3x+4y-1=0$ la gente toma los coeficientes y dice $(3,4)$ ¿es un vector normal?

¿Por qué funciona esto? ¿Cómo se relacionan los coeficientes con la normal?

Answer 1

Dos vectores $a,b$ son normales si $a\cdot b=a_1b_1+...+a_2b_2=0$ .

Si tienes un vector, $(x,y)$ y quieres encontrar vectores que sean normales a ella quieres encontrar un vector $(a,b)$ tal que $ax+by=0$ . Así que un vector normal a la línea $3x+4y=0$ es simplemente $(3,4)$ .

Si tienes una constante en el lado derecho, sólo mueve la línea hacia arriba o hacia abajo. No cambia nada más. Así que un vector normal seguirá siendo $(3,4)$ .

Answer 2

Si la ecuación de la línea es $$ ax+by+c=0$$

entonces, el vector normal es $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right)$ y el vector de dirección es $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}-b \\ a\end{array}\right)$

Demostración:

En primer lugar, comenzamos mostrando que $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right)$

Es fácil ver que si $a=(x_a,y_a)$ , $b=(x_b,y_b)$ son dos puntos de la recta dada entonces, $$ \vec{u}=\left(\begin{array}{c}x_b-x_a \\ y_b-y_a \end{array}\right)$$ es un vector de dirección de la línea.

entonces el producto escalar de $n$ y $u$ debe ser $0$ para decir que $n$ es efectivamente un vector normal. $$ \vec{n}\cdot \vec{u}=a(x_b-x_a)+b(y_b-y_a)=ax_b-ax_a+by_b-by_a=c-c=0 $$

Entonces, para demostrar que $\vec{v}=\left(\begin{array}{c}-b \\ a\end{array}\right)$ es un vector de dirección para la línea todo lo que tenemos que hacer es calcular el producto escalar de $\vec{n}$ y $\vec{v}$ . $$\vec{n}\cdot \vec{v}=-ab+ab=0 $$ Así que el vector $\vec{v}$ es ortogonal al vector $\vec{n}$ que es un vector normal, por lo que $\vec{v}$ es un vector de dirección.

Answer 3

Un vector paralelo a la línea se obtiene uniendo dos puntos, digamos

$$\vec p=(x_1,y_1)-(x_0,y_0).$$

Dejemos que $\vec n:=(3,4)$ . Entonces por la ecuación de la línea ( $3x+4y=1$ ),

$$\vec n\cdot\vec p=(3x_1+4y_1)-(3x_0+4y_0)=1-1=0$$

que muestra que $\vec n\perp\vec p$ .

Answer 4

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas. La pendiente de su recta es $-3/4$ por lo que se busca una línea con pendiente de $4/3$ . Si dejas que $x=3t$ , $y=4t$ la pendiente será de 4/3 y ya está.

Answer 5

Respuesta corta:

La recta paralela a la dada que pasa por el origen tiene ecuación

$$3x+4y=0,$$ o $$\vec n\cdot\vec p=0.$$