El campo eléctrico cae más rápido que $\frac{1}{r^2}$ para grandes distancias

Question

Un extracto de un libro;

El campo eléctrico debido a una configuración de carga con carga total cero, no es cero; pero para distancias grandes comparadas con el tamaño de la configuración, su campo cae más rápido que $\frac{1}{r^2}$ , típico del campo debido a una sola carga. Un dipolo eléctrico es el ejemplo más sencillo de este hecho.

1. ¿Por qué el campo no es cero aunque la carga neta sea cero? ¿No se anularía el campo?

2. ¿Qué significa que - el campo cae más rápido que $\frac{1}{r^2}$ para grandes distancias.

¿Significa esto que la intensidad del campo disminuye a un ritmo más rápido a grandes distancias? En caso afirmativo, ¿por qué ocurre esto?

3. ¿Por qué es esto típico de un campo debido a una sola carga?

4. ¿Cómo es el dipolo un ejemplo de este hecho?

Agradecería que la respuesta esté dirigida a un estudiante de bachillerato con conocimientos básicos de electrostática y que no implique ecuaciones complicadas.

Answer 1

Imagina dos cargos, uno $+q$ y otro $-q$ separados por $1$ m. Como sistema la carga neta es $0$ pero está claro que el campo no será $0$ una distancia de $10$ m de distancia: los campos de cada carga se disparan como $1/r^2$ pero sólo se anulan parcialmente al sumarlas debido a la distancia entre las cargas; la anulación parcial dependerá bastante de la dirección.

Imagina que ahora no estás $10$ m pero $10^9$ m de distancia. Para grandes distancias se puede mostrar que el campo del dipolo cae como $1/r^3$ porque los campos de las dos cargas casi se anulan pero no completamente. También existe: un efecto direccional, y la intensidad del campo depende de la relación $d/r$ de la distancia $d$ entre las dos cargas a la distancia $r$ entre el centro de las cargas y el punto donde se evalúa el campo.

Depende básicamente de si se consideran los componentes en una única fuente puntual neta o si se siguen considerando por separado.

Answer 2

Sólo con mirar el patrón de campo se puede ver que no hay ningún lugar donde vaya a haber una cancelación completa

En términos sencillos, la razón de que la caída del campo resultante sea mayor que $\frac{1}{r^2}$ es algo así.

Imagina que una carga positiva y otra negativa producen un campo magnético en la posición $C$ como se muestra en el siguiente diagrama.

El campo de cada uno de los cargos $\vec E_+$ y $\vec E_-$ puede resolverse en componentes $E$ y $e$ .

Los componentes $E$ se cancelan y sólo queda un campo de magnitud $2e$ .

A medida que la distancia $x$ aumenta la magnitud del componente $e$ se hace cada vez más pequeño en relación con $E_+$ que se muestra mediante el uso de triángulos similares

$\dfrac{e}{E_+} = \dfrac d x \Rightarrow e = \dfrac d x E_+ $

Sin embargo, la magnitud de $\vec E_+$ es proporcional a $\dfrac {1}{x^2}$ por lo que el campo resultante $2E \propto \dfrac {1}{x^3}$ .

Answer 3

1. Si consideramos un dipolo eléctrico -una carga positiva y otra negativa, separadas por una distancia r- a pequeñas distancias ( $<r$ ) el campo será dominado por la carga que esté más cerca.

2. Por otro lado, a distancias muy grandes entonces, como has sugerido, los campos se anulan y así la atracción global cae más rápido que $1/r^2$ .

3. Creo que está diciendo que el $1/r^2$ es típica de una carga simple, en contraste con el dipolo. Sin embargo, la respuesta está escrita de forma ambigua.

Answer 4

Se llama expansión multipolar. El primer término es el habitual $1/r^2$ y escala con la carga total. Sigue una serie infinita de términos de orden superior con potencia $1/r^n, n>2$ que tienen diferentes factores, llamados "momentos multipolares". El siguiente es el momento dipolar, luego está el momento cuadrupolar, y así sucesivamente. Estos momentos no son nulos aunque la carga total sea cero, porque las cargas no tienen que estar unas encima de otras. A grandes rasgos, los momentos superiores indican cómo se distribuyen las cargas.

Answer 5

1. Dejemos que $\vec{E}_{+(-)}$ sea el campo eléctrico creado por una carga positiva (negativa). A menudo, una de las cargas estará un poco más cerca de ti que la otra. Como $\vec{E}=\vec{E}_+ + \vec{E}_-$ el único escenario en el que $\vec{E}=\vec{0}$ se producirá cuando las dos cargas puntuales coincidan (donde tendríamos $\vec{E}_+ + \vec{E}_-=\vec{0}$ ). Cualquier otra configuración tendría un $\vec{E}$ .

2. Piensa en las funciones $f(x)=1/x^2$ , $g(x)=1/x^3$ y $h(x)=1/x^4$ . Todos se acercan a cero a medida que $x$ se hace grande, pero para cualquier x dada (mayor que 1), siempre tenemos $h(x)<g(x)<f(x)$ .

3. No estoy seguro de entender lo que preguntas en # 3.

4. La magnitud de $\vec{E}$ creada por un dipolo (cargas puntuales de signo opuesto que están cerca) disminuirá más rápidamente que si se tratara de una sola carga puntual. Me gusta visualizar esto como resultado del hecho de que las dos cargas están muy juntas (en comparación con la distancia de nosotros a las cargas). Como casi coinciden, los campos de cada carga ( $\vec{E}_+$ y $\vec{E}_-$ ) casi se anulan entre sí, con un pequeño campo eléctrico sobrante $\vec{E}$ (como se menciona en el punto 1). Resulta que para un dipolo, este campo eléctrico sobrante $\vec{E}$ es $\propto 1/r^3$ (este es un cálculo típico de segundo semestre de licenciatura). Para llegar a este resultado, haz una expansión de Taylor suponiendo $r>>d$ (donde d es la separación entre las cargas y r es la distancia que te separa del punto intermedio entre las cargas).