Jóvenes del entramado y el álgebra de Weyl

Question

Vamos a L ser el entramado de Jóvenes diagramas ordenados por inclusión y dejar a L_n denota el n-ésimo grado, es decir, los Jóvenes diagramas de tamaño n. Decir que lambda > mu si lambda cubre mu, es decir, mu puede ser obtenido a partir de lambda mediante la eliminación de una de las cajas y dejar que C[L] ser el vector libre del espacio en L. Los operadores

U lambda = suma_{mu > lambda} mu

D lambda = suma_{lambda > mu} mu

son un decategorification de la inducción y la restricción de los operadores sobre los grupos simétricos, y (como se ha observado por Stanley y generalizada en la teoría de los diferenciales de posets) que tienen la propiedad de que DU - UD = I; en otras palabras, la Joven de la celosía, junto con la U, D formar una representación de la álgebra de Weyl.

Es esta una manifestación de un fenómeno más general? Cuál es la relación entre los operadores diferenciales y la teoría de representaciones del grupo simétrico?

Edit: tal vez debería pedir una más precisa de la pregunta, basada en el comentario de abajo. Como yo lo entiendo, en el lenguaje de los grupos de Coxeter los grupos simétricos son de "tipo A", por lo que el álgebra de Weyl puede estar asociado a Un tipo de fenómenos. ¿Cuál es el análogo de la álgebra de Weyl para los tipos B, C, etc.?

Answer 1

EDITAR (3/16/11): Cuando leí por primera vez esta pregunta, yo pensé: "hmmm, álgebra de Weyl? De verdad? Me siento como nunca escucho a la gente decir que van a categorify el álgebra de Weyl, pero parece que eso es lo que la pregunta es acerca de..." Ahora entiendo lo que está pasando. No golpee el OP, pero hay una mucho más grande estructura de aquí a la izquierda. Si usted tiene alguna $S_n$ en representación $M$, se obtiene un functor $$\operatorname{Ind}_{S_m\times S_n}^{S_{m+n}}-\otimes M: S_m-\operatorname{rep}\to S_{m+n}-\operatorname{rep}$$ and these functors all have adjoints which I won't bother writing down. All of these together categorify a Heisenberg algebra, which is what Khovanov proves in the paper linked below (though cruder versions of these results on the level the OP was talking about are much older, at least as far back as Leclerc and Thibon).

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There is a much more general story here, though one my brain is not very up to explaining it this afternoon, and unfortunately, I don't know of anywhere it's summarized well for beginners.

So, how you you prove the restriction rule you mentioned above? You note that the restriction of a $S_n$ rep to an $S_{n-1}$ rep has an action of the Jucys-Murphy element $X_n$ which commutes with $S_{n-1}$. The different $S_{n-1}$ representations are the different eigenspaces of the J-M element.

So, one can think of "restrict and take the m-eigenspace" as a functor $E_m$; this defines a direct sum decomposition of the functor of restriction.

Of course, this functor has an adjoint: I think the best way to think about this is as $F\_m=(k[S\_n]/(X\_n-m)) \otimes\_{k[S\_{n-1}]} V$.

These functors E_m,F_m satsify the relations of the Serre relations for $\mathfrak{sl}(\infty)$. Over characteristic 0, these are all different, and you can think of this as an $\mathfrak{sl}(\infty)$. If instead, you take representations over characteristic p, then E_m=E_{m+p} so you can think of them as being in a circle, an affine Dynkin diagram, so one gets an action of $\widehat{\mathfrak{sl}}(p)$.

Similar categorifications de otras representaciones pueden deconstruida en general, buscando en las representaciones de los complejos de los grupos de reflexión dada por la corona de producto del grupo simétrico con un grupo cíclico. Así, Sammy, no debería cambiar la escala, se debe celebrar que has encontrado una representación con un diferente peso más alto (también, si realmente te importa, deberías ir a hablar con Jon Brundan o Sasha Kleshchev; son algunos de los expertos del mundo en esta materia).

EDIT: Khovanov ha hecho acaba de publicar un documento que creo que podrían ser pertinentes a su pregunta.

Answer 2

Sasha Kleshchev del libro "Lineal y Proyectivas de Representaciones de Grupos Simétricos" es la referencia que te sugiero. El capítulo 1 contiene la conexión con los Jóvenes de la red, y los posteriores capítulos se desarrollan los functors que Ben se describe anteriormente. La segunda mitad del libro se desarrolla la teoría de spin representaciones de grupos simétricos que es un tipo honesto B analógica (La functors $E_m$ $F_m$ Ben respuesta satisfacer la Serre para las relaciones de la Kac-Moody álgebra de tipo $B_\infty$).

Para agregar un poco más de detalle a Ben respuesta, el nivel de generalidad de pensar acerca de estas preguntas es afín Hecke álgebra (cualquiera de los degenerados o degenerada de variedades). Voy a describir el caso de degeneración:

Deje $F$ ser un algebraicamente cerrado campo de la característica $p$. Como un vector en el espacio (degenerado) afín Hecke el álgebra es un tensor producto de un polinomio de álgebra con el grupo de álgebra del grupo simétrico: $H_d=F[x_1,\ldots,x_d]\otimes FS_d$. La multiplicación se define de manera que cada tensor sumando es una subalgebra, y $H_d$ satisface la mezcla de las relaciones $s_ix_j=x_js_i$ $j\neq i,i+1$ (aquí se $s_i=(i,i+1)$), y $s_ix_i=x_{i+1}s_1-1$.

Tenga en cuenta que además de ser un subalgera, $FS_d$ es también un cociente de $H_d$ obtenido por asignación de $s_i\mapsto s_i$ $x_1\mapsto 0$ (de modo que el $x_i$ mapa a Jucys-Murphy elementos).

El polinomio subalgebra forma una máxima conmutativa subalgebra, por lo que da un finito dimensionales $H_d$-módulo de $M$, se puede descomponer $$M=\bigoplus_{(a_1,\ldots,a_d)\in F^d}M_{(a_1,\ldots,a_d)},$$ where $$M_{(a_1,\ldots a_d)}=\lbrace m\in M|(x_i-a_i)^Nm=0,\mbox{ for }N\gg0\mbox{ and }i=1,\ldots,d \rbrace$$ is the generalized $(a_1,\ldots,a_d)$-eigenspace for the action of $x_1,\ldots,x_d$. Let $I=\mathbb{Z}1_F\subconjunto F$ and $Rep_IH_d$ be the category of finite dimensional $H_d$-modules which are integral in the sense that if $M\en Rep_IH_d$, and $M_{(a_1,\ldots,a_d)}\neq 0$, then $(a_1,\ldots,a_d)\I^d$.

Ahora, vamos a $K_d=K_0(Rep_IH_d)$, e $K=\bigoplus_d K_d$. A continuación, el categorification declaración es que parabólico de inducción y de restricción de dar $K$ la estructura de un bialgebra, y como tal $$K\cong U_{\mathbb{Z}}(\mathfrak{n}).$$ In the above statement, $\mathfrak{n}\subconjunto \mathfrak{g}$ is the maximal nilpotent subalgebra of the Kac-Moody algebra $\mathfrak{g}$ generated by the Chevalley generators $e_i$, where, if $char F=p$, then $\mathfrak{g}=\hat{sl}(p)$, and if $char F=0$, $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(\infty)$. In both cases $U_{\mathbb{Z}}(\mathfrak{g})$ denotes the Kostant-Tits $\mathbb{Z}$-subalgebra of the universal enveloping algebra. Note here that the Chevalley generators are indexed by $I$.

Ahora, para cada una de las dominantes de peso integral $\Lambda=\sum_{i\in I}\lambda_i\Lambda_i$ ($\Lambda_i$ la fundamental dominante pesos) por $\mathfrak{g}$, definir el polinomio $$f_\Lambda=\prod_{i\in I}(x_1-i)^{\lambda_i}.$$ Then, the algebra $H_d^\Lambda=H_d/(H_d f_\Lambda H_d)$ is finite dimensional. In the case $\Lambda=\Lambda_0$, $H_d^\Lambda\cong FS_d$.

Uno puede formarse $K_d(\Lambda)$ $K(\Lambda)$ por encima de la correspondiente a la categoría de $H_d^\Lambda-mod$. A continuación, la declaración es categorification $$K(\Lambda)\cong V_{\mathbb{Z}}(\Lambda)$$ as $\mathfrak{g}$-modules, where $V(\Lambda)$ is the irreducible $\mathfrak{g}$-module of highest weight $\Lambda$ generated by a highest weight vector $v_+$, and $V_{\mathbb{Z}}(\Lambda)=U_\mathbb{Z}(\mathfrak{g})v_+$ is an admissible lattice. The action of the Chevalley generators on $K$ are analogues of the functors in Ben's answer. The action of the Weyl module corresponds to the action of $D=\sum_{i\en I}e_i$ and $U=\sum_{i\in I}f_i$ (in characteristic 0, this is defined in the completion $\mathfrak{a}(\infty)$ of $\mathfrak{gl}(\infty)$.

Uno se puede generalizar esta historia a $\hat{\mathfrak{sl}}_\ell$ trabajando con el (no degenerada) afín Hecke álgebra $H_d(t)$ donde $t$ es una primitiva $\ell$-ésima raíz de la unidad. En este caso, el finito dimensionales cocientes son Hecke álgebras de los complejos de los grupos de reflexión. El hyperoctohedral grupo corresponde a la de mayor peso $\Lambda=2\Lambda_0$. A continuación, $V(\Lambda)$ es de nivel 2 de la representación, por lo tanto, el elemento central de los actos por $2\cdot Id$ como en Sammy comentario).

En la segunda mitad de Kleshchev del libro, el Hecke el álgebra es reemplazado por el llamado Hecke-Clifford (o Sergeev) álgebra, y $\mathfrak{g}$ es de tipo $B_\infty$ o $A_{2\ell}^{(2)}$ dependiendo del campo de tierra (o uno puede trabajar en la no-degenerada, de modo que $\ell$ no tienen que ser de primer.

El álgebra de operadores introducido por Khovanov-Lauda y Rouquier generalizar esta historia arbitraria de symmetrizable Kac-Moody álgebra. Estas álgebras son graduales, por lo que se obtiene un categorification de la cuántica grupo $U_q$ donde $q$ realiza un seguimiento de la clasificación . . .

Answer 3

Otra perspectiva general sobre este fenómeno es uno de los descritos en el documento "Combinatoria álgebras de Hopf y torres de álgebras de dimensión, cuantificación y functoriality" por Bergeron, Lam y Li. Existe una relación entre las torres de álgebras asociativas satisfacer algunas condiciones, las parejas de doble combinatoria álgebras de Hopf, y doble gradual de los gráficos.

Pasando de las torres de álgebras de a con puntuación doble álgebras de Hopf se realiza mediante el uso de la inducción y la restricción de los grupos de Grothendieck, y, a continuación, utilizando la estructura de las constantes de uno se pone borde de multiplicidades de graduado gráfico. Doble gradual gráficos son generalizaciones de los diferenciales de posets (el definig regla es $D_{\Gamma} U_{\Gamma'}-U_{\Gamma}D_{\Gamma'}=r Id$).

Esto generaliza la forma en que se puede empezar con la torre de grupo simétrico álgebras $\bigoplus_{n\geq 0}\mathbb{C} \mathfrak{S}_n$ y conseguir el anillo del simétrica de las funciones de que es un auto de doble gradual álgebra de Hopf (construcción de la estructura de Hopf en términos de los grupos de Grothendieck por Zelevinsky) y, finalmente, obtener el Joven entramado a través de Pieri reglas en el anillo de simétrica funciones (equivalentemente, la ramificación de las reglas para el grupo simétrico).