Considere la posibilidad de un par de puntos de $P$$Q$, dicen de masa $m>0$, y supongamos que están limitadas de la siguiente manera.
$Q$ se queda en el $z$ eje y puede moverse libremente a lo largo de ella hasta restricciones dijo a continuación.
$P$ puede girar libremente alrededor de $z$ y está conectado a $Q$ por medio de un ideal de la varilla (masa cero) de longitud $\ell$, y también está conectada a la de origen $O$ por medio de otro ideal de la varilla de longitud $\ell$.
Este es un muy estándar idealizada sistema mecánico (que se podía utilizar como un punto de partida para un ejercicio de mi curso universitario de Mecánica Analítica).
Un adecuado sistema de coordenadas para describir el sistema es aparentemente dada por la firma distancia $Z\in (-2\ell, 2\ell)$ $Q$ $O$ a lo largo de $z$ y un angular coordinar $\theta\in (-\pi,\pi]$ describir la posición de $P$ $z$ en el avión $x,y$.
Bien se ve que, descartando los puntos extremos de la $Z= \pm 2\ell$ (que podría ser incluido con más preciso de la discusión, ver el APÉNDICE) un desastre muestra cuando el $Z=0$.
Sobre el conjunto de $Z\in (-2\ell, 0)$$Z\in (0, +2\ell)$, el espacio de configuraciones es diffeomorphic a $\mathbb R \times \mathbb S^1$. Al $Z=0$ el espacio de configuración (en $Z$) en lugar de ser $\mathbb S^1$, se convierte en $\mathbb S^2$ y otro conjunto de coordenadas debe ser utilizado.
Hay dos posibilidades: o bien se declara que el espacio de configuración es diffeomorphic a $\mathbb R \times \mathbb S^1$ ignorar deliberadamente el problema en $Z=0$, o la declaración de que no es un ($2$-dimensional) colector (porque cada punto en el subconjunto de a $Z=0$ tiene un barrio que no es diffeomorphic a $\mathbb R^2$), sino que está hecho de la unión de tres colectores respectivamente diffeomorphic a $\mathbb R \times \mathbb S^1$, $\mathbb S^2$, y $\mathbb R \times \mathbb S^1$. En la práctica, con una imprecisa pero pictóricas descripción (véase el APÉNDICE para una descripción precisa) es la unión de un cilindro y una esfera en el interior del cilindro tangente al cilindro en el ecuador. Esto no es un colector porque no es localmente homeomórficos a $\mathbb R^n$ para algunos fijos $n$ ($2$ en nuestro caso).
En general el espacio de configuración es casi siempre un colector debido a que se obtiene mediante la imposición de restricciones sobre un conjunto de $N$ cuestión de puntos inicialmente descrito en $\mathbb R^{3N}$. Limita están determinados por una familia de $c< 3n$ real de las funciones con valores de $f_k = f_k(t,\vec{x}_1,\cdots, \vec{x}_N)$ mediante la imposición de que cada admisible de configuración de $\vec{x}_1,\cdots, \vec{x}_N$ en cualquier momento $t$ debe satisfacer
$$f_k(t,\vec{x}_1,\cdots, \vec{x}_N) =0\:, \quad k=1,\ldots, c\:. \tag{1}$$
Si las funciones de $f_k$ son suaves y funcionalmente independiente, el teorema de regular los valores de prueba que (1) define una incrustado submanifold de
$\mathbb R \times \mathbb R^{3N}$ de la dimensión de $1+ 3N-c$. La fijación de tiempo de $t \in \mathbb R$, tenemos una incrustado submanifold de $\mathbb R^{3N}$, de dimensión $3N-c$, llamado espacio de configuraciones.
Las dos condiciones de las limitaciones que puede ser falsa para algunos puntos y que a veces sucede en particular cuando se trata con restricciones como la rigidez en algunos geométricamente involucrados.
ADDENDUM. Si $X,Y, Z$ denotar el conjunto de coordenadas de $Q$ $x,y,z$ el coordinar el conjunto de $P$, tanto en el conjunto de la $\mathbb R^3$ espacio, las cuatro limitaciones, correspondientes al conjunto de las condiciones 1 y 2 anteriores, leer
$$f(x,y,z, X,Y,Z)=0\:, \quad g(x,y,z,X,Y, Z)=0\:, \quad h(x,y,z, X,Y,Z)=0, \quad i(x,y,z, X,Y,Z)=0\tag{2}$$
donde
$$f(x,y,z, X,Y, Z) := x^2+y^2+z^2 -\ell^2\:, \quad g(x,y,z, X,Y,Z) := x^2+y^2+(z-Z)^2 -\ell^2\:, \quad g(x,y,z, X,Y,Z)= X\:, \quad i(x,y,z, X,Y,Z)= Y\:.$$
Estas limitaciones son funcionalmente independientes si, por definición, sus diferenciales son linealmente independientes en el conjunto de los puntos de $(x,y,z,X,Y, Z)$ donde todas las condiciones (2) son válidos.
En este caso el teorema de regular los valores implica que este conjunto es un integrado submanifold de $\mathbb R^3 \times \mathbb R^3$ con dimensión $6-4 =2$. Es claro directo cálculos en los que los cuatro diferencias no son linealmente independientes (debido a $df=dg$)$Z=0$. Este es el problema con el sistema de restricciones.
Una descripción precisa de la configuración del espacio cuando se incluyen también los puntos de $Z= \pm 2\ell$ es la unión de dos $2$-esferas en $\mathbb R^4$ que tiene ecuador en común.
