¿Cuál es el círculo más grande que puede caber entre 2 curvas gaussianas?

Question

¿Cuál es el mayor radio posible para que un círculo quepa completamente entre la curva $y = e^{-x^2}$ y $y = -e^{-x^2}$ ?

Esto no es una tarea, estaba pensando en esto al azar. Sé que habrá que hacer cálculos para encontrar el radio, pero no sé cómo proceder. r=1 es demasiado grande

Answer 1

El círculo por los puntos $(\pm x,\pm e^{-x^2})$ y centrado en el origen tiene el radio al cuadrado

$$r^2=x^2+e^{-2x^2},$$

que, por diferenciación, alcanza el mínimo

$$r^2_{min}=\frac{\ln 2+1}2.$$

---

Adenda:

Consideremos el curva de desplazamiento a distancia $2r_{min}$ (como si el círculo rodara sobre él). A partir de las ecuaciones paramétricas

$$\begin{cases}x=t,\\y=e^{-t^2},\end{cases}$$

dibujamos la curva verde de abajo

$$\begin{cases}x'=x-\frac{2r_{min}2te^{-t^2}}{\sqrt{1+4t^2e^{-2t^2}}},\\ y'=y-\frac{2r_{min}}{\sqrt{1+4t^2e^{-2t^2}}}.\end{cases}$$

La parte de la curva entre las dos cúspides $^*$ no debe considerarse, porque corresponde a una sección en la que el radio de curvatura es menor que $r_{min}$ para que el círculo sea externamente tangente.

Esto demuestra que ningún círculo mayor puede ser tangente a la curva superior sin pasar por la inferior y valida la elección intuitiva del centro en el origen.

$^*$ Las cúspides son al mismo tiempo los puntos de tangencia del círculo a la curva inferior.

Answer 2

Me parece geométricamente obvio que el centro de dicho círculo debe ser el origen. Por lo tanto, estamos tratando de encontrar el punto más cercano del origen a las dos curvas. Las curvas se pueden parametrizar con $(x, \pm e^{-x^2})$ que da lugar a una distancia cuadrada parametrizada, $$f(x) = x^2 + e^{-2x^2}$$ Diferenciando, $$f'(x) = 2x - 4xe^{-2x^2}.$$ Esto viene a $0$ cuando $x = 0$ o $e^{-2x^2} = 1/2$ es decir, cuando $x = \pm \sqrt{\log(2)} / \sqrt{2}$ . Claramente, como $x \to \pm\infty$ la distancia se acerca al infinito. Por lo tanto, el mínimo debe ocurrir en uno de nuestros puntos críticos. Comprobando, obtenemos, \begin {align*} f(0) &= 1 \\ f \left ( \pm \frac { \sqrt { \log (2)}}{ \sqrt {2}} \right ) &= \frac { \log (2)}{2} + e^{-2 \frac { \log (2)}{2}} = \frac { \log (2) + 1}{2} < 1. \end {align*} Por lo tanto, el radio del mayor círculo inscrito es $$\sqrt{\frac{\log(2) + 1}{2}}.$$

EDIT: Ya que ninguna de las respuestas se ocupa de ello, y se han expresado ciertas dudas, he pensado en ocuparme de que el centro tenga que ser $(0, 0)$ .

Esencialmente, la propiedad que se necesita aquí es convexidad ortogonal de la región delimitada por las dos curvas. Obsérvese que una región delimitada por dos gráficas cualesquiera de funciones es siempre verticalmente convexa, por la naturaleza de las funciones; un fallo en la convexidad vertical violaría la prueba de la línea vertical.

Para la convexidad horizontal, tome dos puntos $(x_1, y), (x_2, y)$ en la región. Si $y = 0$ entonces claramente $\lambda(x_1, y) + (1 - \lambda)(x_2, y)$ se encuentra en el $x$ -y por lo tanto está en la región, por lo que se supone que $y \neq 0$ . Por simetría, sin pérdida de generalidad, podemos suponer $y > 0$ por lo que sólo debemos preocuparnos por la curva $y = e^{-x^2}$ .

Desde $(x_1, y), (x_2, y)$ están en la región, pero por encima del $x$ -se deduce que $y < e^{-x_1^2}$ y $y < e^{-x_2^2}$ . Desde $e^{-x^2}$ es decreciente para $x \ge 0$ y aumentando para $x \le 0$ se deduce por casos que $$y < \min \left\lbrace e^{-x_1^2}, e^{-x_2^2}\right\rbrace \le e^{-(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2)^2}$$ para $\lambda \in [0, 1]$ . Por lo tanto, tenemos convexidad ortogonal.

¿Cómo nos ayuda esto? Supongamos que tenemos otro punto $(x, y)$ centrando un círculo inscrito más grande en la región. Si $y \neq 0$ entonces $(x, -y)$ también lo hace, por simetría. Por convexidad vertical, $(x, 0)$ hará lo mismo; basta con imaginar el casco convexo vertical de las dos bolas y darse cuenta de que contiene el mismo círculo centrado en $(x, 0)$ . Igualmente, por convexidad horizontal, $(0, 0)$ albergará un círculo inscrito de mayor tamaño.

Como he dicho en los comentarios, esto se puede demostrar un poco más a fondo, pero esta es la intuición geométrica aquí.

Answer 3

Por simetría, observamos que el centro del círculo debe ser $(0,0)$ . Además, para calcular el punto de tangencia de una curva y una circunferencia dadas, la normal de la misma debe pasar por el centro o $(0,0)$ .

Sea el punto de tangencia $(h,k)$ en la cama $y=e^{-x^2}$ . Entonces lo normal a través de este punto es:

$$(y-k) = \frac{-1}{y' |_{(h,k)}}(x-h)=\frac{1}{2he^{-h^2}}(x-h)$$

y como esto pasa por $(0,0)$ obtenemos $$2khe^{-h^2} = h\\ e^{-2h^2} = \frac{1}{2} $$

Así que tenemos el valor de $h = \sqrt{\frac{\ln2}{2}}$ . El valor de $k$ se encuentra directamente como $e^{-h^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

El radio requerido es $\sqrt{k^2+h^2} = \sqrt{\frac{\ln (2e)}{2}}$ .