Recibí una pregunta extraña cuando estaba experimentando algunas optimizaciones convexas. La pregunta es:
Supongamos que genero aleatoriamente (digamos una distribución normal estándar) un $N \times N$ matriz simétrica, (por ejemplo, genero una matriz triangular superior, y relleno la mitad inferior para asegurarme de que es simétrica), ¿cuál es la probabilidad de que sea una matriz definida positiva? ¿Hay alguna forma de calcular la probabilidad?
Si sus matrices se extraen de entradas iid normales, la probabilidad de que sean positivas-definidas es aproximadamente $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ Así, por ejemplo, si $N=5$ la probabilidad es de 1/1000, y disminuye bastante rápido después de eso. Puede encontrar un debate extenso sobre esta cuestión aquí .
Puedes intuir un poco esta respuesta aceptando que la distribución de valores propios de tu matriz será aproximadamente Semicírculo de Wigner que es simétrica respecto a cero. Si los valores propios fueran todos independientes, se tendría un $(1/2)^N$ posibilidad de definición positiva por esta lógica. En realidad se obtiene $N^2$ comportamiento, tanto por las correlaciones entre los valores propios como por las leyes que rigen las grandes desviaciones de los valores propios, concretamente la más pequeña y la más grande. En concreto, los valores propios aleatorios son muy parecidos a las partículas cargadas, y no les gusta estar cerca unos de otros, por lo que se repelen (curiosamente con el mismo campo de potencial que las partículas cargadas, $\propto 1/r$ , donde $r$ es la distancia entre valores propios adyacentes). Pedir que todos sean positivos sería, por tanto, una petición muy elevada.
Además, debido a las leyes de universalidad en la teoría de matrices aleatorias, sospecho fuertemente que la probabilidad anterior $p_N$ será probablemente la misma para cualquier matriz aleatoria "razonable", con entradas iid que tengan media y desviación estándar finitas.
Es bueno saber que es muy bajo. Así que en el futuro no utilizaré el muestreo de rechazo para crear la matriz del DOCUP.
@hxd1011: si estás tratando de muestrear matrices de DSP, te sugiero el método que describí en los comentarios anteriores. Además, puede ser útil leer sobre Descomposiciones Cholesky
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Prueba la simulación ...
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@kjetilbhalvorsen gracias, pero me pregunto cuál es la probabilidad de que todos los valores propios sean mayores que 0. o incluso podemos hacerlo analíticamente.
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La respuesta depende de cómo se genera la matriz. Por ejemplo, una forma genera $n$ valores propios reales según alguna distribución y luego conjuga esa matriz diagonal por una matriz ortogonal aleatoria. El resultado será positivo definido si y sólo si todos esos valores propios son positivos. Si se generan los valores propios independientemente según una distribución simétrico respecto a cero , entonces esa posibilidad obviamente es como máximo $2^{-n}$ . Para generar una matriz PD, entonces, ¡elija bien sus valores propios! (Para un trabajo rápido, creo tales matrices como covarianzas de datos normales multivariados).
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No es una respuesta a la pregunta formulada, pero hay que tener en cuenta que si primero se simula una matriz $L$ con cada entrada iid normal y las mismas dimensiones de $N$ entonces $N = LL^T$ es simétrica y positiva definida con probabilidad 1.