¿Por qué las representaciones de (S)pinor son *restricciones* de las representaciones del álgebra de Clifford?

Question

En primer lugar, sólo para aclarar mi anotación:

Dejemos que $Cl(V,q)$ denotan el Álgebra de Clifford de un espacio vectorial cuadrático $(V,q)$ y denotar por $Cl(V,q)_{0\vert 1}$ la parte par/impar en el $\mathbb{Z}_2$ -Calificación de $Cl(V,q) = Cl(V,q)_0 \oplus Cl(V,q)_1$ del álgebra de Clifford.

Ahora los subgrupos $Pin(V,q) \subset Cl(V,q)$ y $Spin(V,q)\subset Cl(V,q)_0$ se define:

A representación de pinor es la restricción de una representación irreducible representación de $Cl(V,q)$ en $Pin(V,q)$ . De la misma manera, un espinor representación es la restricción de una representación irreducible de $Cl(V,q)_0$ en $Spin(V,q)$ .

Mi pregunta es: ¿Cuál es la razón para definir las representaciones pinor/spinor como el restricciones de las representaciones del álgebra de Clifford En lugar de lo habitual representaciones de grupos de los propios grupos?

Observación: Las explicaciones "físicas" (como: 'Los campos espinores así definidos no se comportarían como espinores, ya que...') también son muy bienvenidas.

Answer 1

Sospecho que se trata de una cuestión terminológica.

Al hablar de " espinores "no nos referimos exactamente a los elementos del grupo $Spin(V,q)$ sino los elementos de espacios vectoriales especiales sobre los que actúan las álgebras de Clifford. En otras palabras, la terminología espinores implica los elementos de algunos específico (álgebra de Clifford, matrices de Pauli, etc.).

Por otro lado, tienes razón en el hecho de que estas representaciones de espinores no son las únicas representaciones del $Spin(V,q)$ grupo. De hecho estos son fieles. Son los que se obtienen por restricción a partir de la acción del álgebra de Clifford sobre el espacio espinor (módulo espinor). Puedes echar un vistazo más detallado aquí para las definiciones y las propiedades elementales implícitas (mira principalmente las definiciones y la proposición de la primera página).