Tengo una pregunta bastante fundamental. ¿Cuál es la diferencia entre el infinito tal como lo muestran los números aleph y el infinito que vemos en el álgebra y el cálculo?
¿Son intercambiables/transponibles de alguna manera? Por ejemplo, ¿podría describir el infinito de un límite con un número aleph? ¿Tiene cardinalidad?
Gracias.
Los objetos matemáticos que se llaman "números" suelen ser representantes de alguna cantidad, y queremos decir que lo que importa es la cantidad.
Por ejemplo, si corto un palo de un metro de largo en dos trozos iguales, cada uno de ellos será exactamente tan largo como poner cinco $10$ cm de regla uno tras otro. No es el objeto sino la longitud lo que juega.
La línea real es infinita: Los números reales no negativos pueden pensarse como una noción abstracta de longitud, mientras que los números negativos pueden pensarse como algo que "acorta las cosas" o como objetos formales que permiten inversiones aditivas.
El infinito en la línea real representa una noción abstracta de "ser más largo que cualquier otra longitud". Se puede pensar en él formalmente como si fuera mayor que cualquier longitud finita: algo tiene una longitud "infinita" si es más largo que un objeto de longitud $1$ un objeto de longitud $2$ y así sucesivamente.
Es importante recordar que esto es sólo un símbolo formal, que $\infty$ se añade a $\mathbb R$ para decir: "Si has llegado a este punto, has ido demasiado lejos".
Cuando decimos: $$\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{e^n} = 0$$
Puede contradecir mi afirmación anterior, ya que ambos son números "infinitos". Sin embargo en este límite calculamos el comportamiento de los cocientes al tomar "longitudes" cada vez mayores.
La historia de $\aleph$ : Por otro lado tenemos los números cardinales. Son números que miden la noción más primitiva de tamaño, es decir, "¿cuántas naranjas hay en este montón?". En los números finitos las nociones coinciden, $10$ naranjas se puede utilizar para medir un $10$ distancia en pies. Sin embargo, cuando se habla de un número infinito de naranjas, las reglas del juego cambian, como suele ocurrir con los objetos infinitos.
La idea de los números aleph es medir cuántas naranjas hay en un montón, o cuántos gatos hay en la bolsa. Ahora bien, no importa si en la bolsa pone "Números naturales" o "Números enteros" o cualquier otro conjunto contable. Sólo significa que hay $\aleph_0$ muchos elementos del conjunto.
Por supuesto, $\aleph_0$ es el tamaño del conjunto que tiene más elementos que cualquier conjunto finito. Al igual que el $\infty$ es la longitud más allá de todas las longitudes finitas. Sin embargo, la $\aleph$ Los números tienen una definición muy precisa, no se basan en algún límite sino en una definición precisa. Su existencia se deduce de los axiomas que afirman su existencia, a diferencia de $\pm\infty$ que a menudo se añade a $\mathbb R$ como símbolos formales para significar "el final de la línea".
Esto hace que las dos nociones de infinito sean muy diferentes. Si pudiéramos comparar $\infty$ y $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$ (siendo esta última la cardinalidad del continuo) podemos notar varias cosas:
Para "alcanzar" $\infty$ sólo tenemos que dar un número contable de pasos, es decir $\lim\limits_{n\to\infty}\ n$ Sin embargo, pasamos por encima de $2^{\aleph_0}$ muchos elementos.
Por otro lado, para alcanzar el tamaño de $\aleph_0$ no podemos pasar por encima más de contablemente muchos elementos. Si nos saltamos un número incontable de elementos, entonces tienen un número incontable de elementos, es decir más que sólo $\aleph_0$ muchos de ellos.
Por el contrario, de nuevo, aunque tomemos una colección contable de montones contables no podemos "alcanzar" el continuo. En ese sentido, para alcanzar el continuo (aumentando la cardinalidad porque es lo que medimos) tenemos que tomar innumerables pasos, esto es independientemente de su valor real como número cardinal - nunca puede ser la unión contable de cardinalidades estrictamente menores.
Para concluir, existen varias nociones de "número" en matemáticas, todas ellas tienen más o menos una cosa en común: nos dan algunas "medidas" sobre los objetos matemáticos; sin embargo, algunas de ellas se comportan de forma muy diferente entre sí. Tampoco hay que esperar que haya una única noción de infinito, y no hay una sola noción. Hay muchas. Sin embargo, todos los infinitos tienen algo en común: siempre son "más grandes que cualquier medida finita".
Algunos materiales de lectura en este sitio:
El $\aleph_0$ , $\aleph_1$ etc. números cardinales y son objetos matemáticos específicos. La notación $\infty$ utilizado en el cálculo es más bien un notación y no suele referirse a un objeto matemático concreto. Por ejemplo, $[6, \infty)$ es $\{ x : x \in \mathbb R, x \geq 6\}$ . El $\infty$ por sí mismo no denota nada, al igual que el $[$ por sí mismo no denota nada. Cuando se dice $$\lim_{x \downarrow 0} \frac 1 x = \infty$$ el $\infty$ no se refiere a ningún objeto, sino que el conjunto significa que se puede hacer $1/x$ arbitrariamente grande haciendo $x$ pequeño (formalmente, para todo $N \in \mathbb R$ existe $\epsilon > 0$ tal que para todo $x \in (0,\epsilon)$ , $1/x > N$ ).
Tenga en cuenta que a veces se puede utilizar $\infty$ como un nombre conveniente para algo (en lugar de algo menos sugestivo como $x_0$ o algo así), por ejemplo como el elemento que se añade al plano complejo para obtener la esfera de Riemann.
En realidad no son directamente comparables; tienen motivaciones fundamentalmente diferentes.
El "infinito" del álgebra y el cálculo está motivado por la idea de considerar números cada vez más grandes y decidir qué ocurre "en el límite". A menudo se insiste en que el infinito no es un número, y por una serie de buenas razones; la aritmética no suele estar bien definida cuando se añade el infinito a la mezcla. Cuando el infinito se define como un número, en la mayoría de las concepciones (para los números reales, al menos), sólo hay uno o dos infinitos (a veces la gente fusiona $\pm\infty$ ), o $\infty + 1 \neq \infty$ y hay muchos infinitos de algún orden de magnitud, así como $\infty^2$ y así sucesivamente, números de gran magnitud. En este último caso, la aritmética está bien definida.
Los números cardinales, por el contrario, son sólo una herramienta para describir lo grande que es un conjunto. No describen un límite de cosas más pequeñas; describen el comportamiento de una colección estática con respecto a la relación de equivalencia de la correspondencia uno a uno. La resta no está bien definida, pero la suma, la multiplicación y la exponenciación están bien definidas. En este esquema, cuando $\alpha$ es un cardinal infinito, $\alpha + 1 = \alpha$ como podríamos esperar intuitivamente. Sin embargo, no hay sólo un número infinito; $2^\alpha$ es estrictamente mayor que $\alpha$ según el Teorema de Cantor.
Otra colección de números infinitos relacionados con la teoría de conjuntos que puede interesarle son los números ordinales. Asumo que no los has visto antes, ni estás familiarizado con el ordenamiento.
He aquí un experimento mental: imagina que cuentas $0,1,2,3\cdots$ . Nunca lo alcanzarías, pero digamos que aceleras el reloj de manera que acabas con todos los números naturales en un intervalo de tiempo finito. Entonces el siguiente número que contarás es $\omega$ (por el bien de nuestro experimento). Tenga en cuenta que nunca dijo $\omega-1$ y, de hecho, no existe tal número. Pero entonces usted continúa, $\omega+1, \omega+2, \cdots$ . Acelerando de nuevo el reloj, se llega a $\omega \cdot 2$ . De la misma manera, se obtiene $\omega\cdot3$ , $\omega\cdot4$ etc. Esas cifras se acercan a $\omega^2$ y luego, de manera similar, se obtiene $\omega^3, \omega^4, \cdots$ , acercándose $\omega^\omega$ y continúa. Ahora bien, todos los números que he descrito tienen un número contable de predecesores, y para poder describir un número ordinal exactamente de esta manera, tendría que ser contable. Sin embargo, resulta que si definimos una colección de números exactamente de esta manera en la teoría de conjuntos, donde cada número se caracteriza por el conjunto de predecesores, hay, de hecho, números con incontables predecesores, de cualquier cardinalidad. Son los números ordinales. Consulte los artículos de la wikipedia sobre ordinales y bien ordenado si te interesa.
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