De qué manera son funciones de conjuntos?

Question

De Introducción a la Topología, Bert Mendelson, ed. 3, página 15:

Una función puede ser visto como un caso especial de lo que se llama una relación.

Sin embargo, una relación es un conjunto

Una relación $R$ sobre un conjunto $E$ es un subconjunto de a $E\times E$.

mientras que una función es una correspondencia o una regla. Es entonces una función de un conjunto?

Answer 1

Funciones corresponden a un resumen de la regla. No a algo como $f(x)=x+3$. Esta regla abstracta no necesita ser expresable, o incluso algo que usted puede imaginar. Funciones, como cualquier otro objeto matemático, puede ser representado como un conjunto. Por ejemplo, los números reales pueden ser considerados como conjuntos.

Las funciones se representan como conjuntos de pares ordenados. Cuando decimos que $f$ es una función de $X$ a $Y$, a continuación, nos referimos a decir que $f$ es un conjunto de pares ordenados $(x,y)$ tal que $x\in X$$y\in Y$, y el siguiente se tiene:

1. Para cada $x\in X$ hay algo de $y\in Y$ tal que $(x,y)\in f$.
2. Si $(x,y)\in f$$(x,y')\in f$$y=y'$.

Cuando ocurre esto último, basta con reemplazar el$y$$f(x)$.

Por ejemplo, $\{(0,0),(1,0)\}$ es una función de $\{0,1\}$ a $\{0\}$.

Answer 2

Sí, una función de $f:X\to Y$ puede ser modelado por un conjunto.

Y sí, una función puede considerarse como un caso especial de relación, es decir, un subconjunto $R\subseteq X\times Y$. ("Función" después de todo puede ser pensado como una versión abreviada de "relación funcional.")

Esto es sólo reexpressing $f(x)=y$$(x,y)\in R$. Así, la "función-es-una-regla" de la imagen es equivalente a pensar en un subconjunto $f\subseteq X\times Y$, donde el $f$ tiene propiedades especiales que hacen que sea una función. (Las propiedades que usted probablemente está familiarizado con, me imagino.)

Las relaciones no tienen que ser en el mismo conjunto, como se dio como un ejemplo. Sin embargo, cuando la gente dice "la relación en $E$", que es la abreviatura de "relación de$E$$E$."

Answer 3

Otros han dicho, claro y muy bien, la forma de representar o modelo de las funciones de conjuntos.

Y esa es la forma correcta de decirlo. Aquí hay tres razones para no decir que las funciones son conjuntos.

1. Puede ser convencional para el tratamiento de la función binaria $f(x) = y$ correspondiente a un determinado conjunto de pares ordenados $(x, y)$, y, a continuación, tratar los pares ordenados por la Weiner-Kuratowski de la construcción. Pero en ambos pasos que estamos haciendo arbitrarias decisiones de una gama de posibilidades. Usted podría utilizar el conjunto de pares ordenados (y, x) [he visto que hace], y usted puede elegir un conjunto diferente de la teoría de la representación de los pares ordenados [he visto que done]. Desde la convencional de la asociación de la función con un conjunto implica opciones arbitrarias, no hay un único derecho de hacer: ninguno, entonces, puede ser razonablemente dijo a revelar lo que una función realmente es. Estamos en el negocio de la representación (en relación a algunos elegidos esquema de representación).

2. Algunas de las funciones son "demasiado grandes" para tener conjuntos correspondientes. Tomar la función que se asigna a un conjunto a su singleton. Los pares ordenados $(x, \{x\})$ son demasiados para formar un conjunto. Si una función es demasiado grande para tener un correspondiente conjunto, no puede ser ese conjunto.

3. Lo que es más importante, sería un tipo de confusión para identificar una función con un objeto como un conjunto. Una función de mapas algún objeto(s) a un objeto. En términos de Frege de la buena metáfora, las funciones son "insaturados", vienen con uno o más ranuras, esperando ser llenado (donde llenar la única ranura en, digamos, la unario numérica de la función de la plaza de ... nos da un número). En terminología moderna, las funciones tienen una intrínseca arity. Por el contrario, los objetos no son insaturados, no tiene ranuras, esperando ser llenado, no tiene arities, no hacer la asignación. Y lo que se aplica a los objetos en general se aplica a aquellos objetos que se establece en particular. Así que las funciones no son conjuntos.

Answer 4

Vamos a empezar por el otro extremo.

Una función puede ser considerada como una regla para asignar un único valor de $f(x)$ a cada una de las $x$. Vamos a construir un conjunto de $F$ de todos los pares ordenados $(x,f(x))$.

Si $f:X\to Y$ necesitamos a todos los $x\in X$ a tener un valor de $f(x)$. Así, para cada $x$ no es un par ordenado $(x,y)$ en el conjunto para algunos $y\in Y$. También necesitamos $f(x)$ a ser definida únicamente por $x$, de modo que siempre que el conjunto contiene a $(x,y)$ $(x,z)$ tenemos $y=z$. De esta manera hay un único, $f(x)$ por cada $x$ como se requiere.

Los pares ordenados se pueden tomar como elementos de $X \times Y$, de modo que $F\subset X \times Y$

Si tenemos un conjunto de pares ordenados con las propiedades necesarias, podemos trabajar hacia atrás y ver que este nos devuelve nuestra idea original de una función.