Deje $(R,\mathfrak{m},k)$ ser un Noetherian anillo local y $F.$ el complejo de Koszul de un sistema minimal de generadores de $\mathfrak{m}$. Deje $G.$ ser la mínima libre de resolución de $k$. En qué casos son los mismos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general, el complejo de Koszul no es exacto. Es que si uno está trabajando con una secuencia regular. Esta falta de exactitud es el único obstáculo para el complejo de Koszul ser libre mínima de resolución (debido a que la matriz de coeficientes de mentira en la máxima ideal). Si el anillo local es regular, entonces un sistema minimal de generadores será una secuencia regular y el complejo de Koszul proporcionará un mínimo de resolución libre de $k$.
Si $R$ no es habitual, a continuación, $k$ tiene una infinidad de Tor-dimensión (esto es esencialmente Serre la caracterización de regular los anillos como los noetherian local anillos finitos dimensión global), por lo que el libre mínima de resolución de $k$ es infinito, y, en particular, no es el complejo de Koszul. (La otra dirección de Serre del teorema es esencialmente la observación de que, por un regular anillo local, $k$ ha finito dimensión global debido a que el complejo de Koszul, como en el anterior.)
