¿Por qué es el álgebra exterior bi-álgebra (e incluso un álgebra de Hopf)?

Question

Según la wikipedia, el álgebra exterior de una $\Bbbk$-espacio vectorial $V$ es inicial con respecto a ser unital y existe un $\Bbbk$-lineal mapa de $j\colon V\to A$ tal que $j(v)^2=0$ todos los $v\in V$.

Este es un razonable álgebra a tener en cuenta si uno está interesado en la medición de $k$-dimensiones de los volúmenes, los cuales son especificados por $k$ vectores linealmente independientes, y que son degenerados si los vectores no son linealmente independientes (lo que es equivalente, para $char \Bbbk\neq 2$, la medición de $k$-dimensiones firmado volúmenes). A continuación, la multiplicación consiste simplemente en lanzar extra vectores.

Mi pregunta, inspirado por la reciente pregunta sobre el significado de la suma en el exterior de álgebra, es sobre el significado de la co-la multiplicación. Me he enterado de casi nada acerca de la co-álgebras de fuera de su formalismo, por lo que en parte estoy buscando respuestas que me ayuden a construir algunas intuición geométrica, y de otra manera, acerca de lo que está sucediendo.

1. ¿Qué es un categórico argumento de que el exterior de álgebra de la satisfacción de las anteriores universal de la propiedad ha co-multiplicación (y por lo tanto es un bi-algbera)?
2. Hay un (heurisitc) interpretación geométrica de la parte exterior de álgebra de la co-multiplicación similar a la $k$-dimensional de seguimiento de volumen he descrito arriba?
3. (Bono de la pregunta): ¿hay algún significado geométrico de la anti-pode que hace que el exterior (bi-)álgebra en un álgebra de Hopf?

Answer 1

Tal vez primero es más fácil de entender por qué la simétrica álgebra es un álgebra de Hopf. Esto es debido a que $S(V)$ no es nada más que el anillo de funciones polinómicas en $V^{\ast}$, e $V^{\ast}$ es, naturalmente, un esquema de grupo, con la adición de vectores como el grupo de operación. Dualizing todos los mapas que se obtiene de este grupo de estructura de la da precisamente el álgebra de Hopf de la estructura: se obtiene la antípoda de la inversa de la en $V^{\ast}$ y el comultiplication a partir de la incorporación en $V^{\ast}$.

El exterior de álgebra es una especie de "twisted" álgebra simétrica, de modo que la misma cosa es verdad para ti. Una manera de formalizar esto es que el exterior de álgebra es, precisamente, el álgebra simétrica, pero donde $V$ es considerado como un extraño supervector espacio. Esto es debido a que el monoidal simétrica estructura en supervector espacios es ligeramente diferente de lo que uno podría esperar: está dada por $a \otimes b \mapsto (-1)^{|a| |b|} b \otimes a$. Véase, por ejemplo, esta entrada del blog.

Creo que hay una interpretación física aquí, pero no sé cómo ser más precisos al respecto. El simétrica y exterior álgebras son, respectivamente, el bosonic y fermionic espacios de Fock. El comultiplication debe tener una interpretación física como "la duplicación de los estados", o algo así.

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Hay una idea de que usted debe de entender que si no la has visto antes, y es la noción de un grupo de objetos en una categoría. Si usted escribe lo que significa para un esquema afín $\text{Spec } R$ a ser un objeto de grupo en la categoría de afín a sistemas, a continuación, dualize todos los mapas, usted encuentra que usted ha equipado $R$ con la estructura de un álgebra de Hopf. Una manera concisa de decir esto es que álgebras de Hopf son cogroup objetos en una categoría de álgebras, lo que significa que son objetos de grupo en el opuesto categorías.

Answer 2

Deje $\Lambda V$ ser el exterior de álgebra en $V$, y consideran que el producto tensor de álgebra $\Lambda V\otimes\Lambda V$ en el sentido de graduado álgebras, por lo que si $a$, $b$, $c$ y $d$ son homogéneos en $\Lambda V$ hemos $$a\otimes b\cdot c\otimes d=(-1)^{|b||c|}ac\otimes bd.$$ If $v\V$, then you can chech that $(1\otimes v+v\otimes1)^2=0$. Therefore we have a map $$j:v\in V\mapsto v\otimes1+1\otimes v\in\Lambda V\otimes\Lambda V$$ such that $j(v)^2=0$ for all $v\V$. As you observed, this $j$ then induces an algebra map $$\Delta:\Lambda V\to\Lambda V\otimes\Lambda V.$$ Using the universal property of $\Lambda V$ it is easy to show that this turns $\Lambda V$ into a Hopf algebra in the graded sense. For example, we need to show $\Delta$ is coassociative: but the maps $\Delta\otimes1_V\circ\Delta$ and $1_\V\otimes\Delta\circ\Delta$ are two algebra maps $\Lambda V\a\Lambda V\otimes\Lambda V\otimes\Lambda V$, so the universal property tells us that to check they coincide it is enough to show their restrictions to $V\subseteq\Lambda V$ coinciden, y esto se puede hacer calculando explícitamente.

Es importante que el producto tensor de álgebra $\Lambda V\otimes\Lambda V$ ser tomadas en el gradual sentido aquí. En el sin sentido, $\Lambda V$ generalmente es $not$ un álgebra de Hopf: por ejemplo, cuando se $V$ es unidimensional, $\Lambda V\cong k[x]/(x^2)$ como álgebra y si las características del campo de $k$ no es dos, esto no puede ser hecho en un álgebra de Hopf de alguna manera.

Answer 3

Un álgebra de hopf de la estructura de un espacio implica un álgebra de hopf de la estructura en el espacio dual.El exterior de álgebra en un espacio natural natural álgebra de hopf de la estructura como se explicó en el debate a través de la inicial de la descripción de objetos.

Hay un bono de simetría en esta situación. Los dos álgebra de hopf estructuras en el doble coinciden.