La ecuación funcional de Cauchy para $\mathbb R^n$

Question

Supongamos que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Si $f:\mathbb R\to \mathbb R$ y es medible, entonces $f(x)=cx$ . Esto se denomina Ecuación funcional de Cauchy .

Supongamos que $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ en su lugar. ¿Sigue siendo cierto que $f$ es lineal?

Wikipedia dice que El quinto problema de Hilbert es una generalización de esta ecuación funcional, pero no puedo analizar esa página lo suficientemente bien como para entender cómo se relaciona.

Answer 1

Creo que podemos deducir la $n$ -resultado de la dimensión de la $1$ -resultado de la dimensión. Sabemos que $$f(x+y)=f(x) + f(y)$$ para todos $x,y\in\mathbf{R}^n$ y queremos demostrar que de hecho $$f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)$$ para todos $x,y\in\mathbf{R}^n$ y $\lambda,\mu\in\mathbf{R}$ . Es evidente que basta con demostrar que $$f(\lambda x) = \lambda f(x)$$ para todos $x\in\mathbf{R}^n$ y $\lambda\in\mathbf{R}$ . Pero, para los fijos $x,e\in\mathbf{R}^n$ , $g:\lambda\mapsto \langle f(\lambda x), e\rangle$ es una función medible $\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ satisfaciendo $g(\lambda + \mu) = g(\lambda) + g(\mu)$ , de lo que se deduce por la $1$ -resultado de la dimensión que $g(\lambda) = \lambda g(1)$ . En otras palabras, para todos los $x,e\in\mathbf{R}^n$ tenemos $\langle f(\lambda x),e\rangle = \langle \lambda f(x),e\rangle$ . Desde $e$ es arbitraria, esto implica que $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ para todos $x\in\mathbf{R}^n$ y $\lambda\in\mathbf{R}$ Así que

$$f(\lambda x + \mu y) = f(\lambda x) + f(\mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y).$$

Answer 2

Esto no es una respuesta, pero no tenemos del todo la linealidad. Por ejemplo, $f(z)=az+b\bar{z}$ es una solución continua de la ecuación funcional de Cauchy de $\mathbb{C}$ . (Y todas las soluciones continuas son de esta forma.) En este caso, la diferenciabilidad implica linealidad.