Esto se refiere a la primera formulación de la pregunta, solicitando la probabilidad de absorción en $0$ o $L$ antes de un momento dado, de forma condicional en la absorción. Véase más abajo para una solución a la segunda formulación de la pregunta.
Uno puede omitir el condicionamiento por el caso de que eventualmente, uno de ellos golpea a uno de la absorción de barreras, ya que este evento que sucede con total probabilidad. Ahora, a menudo, un enfoque fructífero de este tipo de problema es buscar un cuasi-estacionaria de distribución.
En palabras, se supone que una proporción $m(n)$ de las partículas está en el sitio $n$ en el tiempo cero, para cada $n$$1$$L-1$, y que todas las partículas comienzan a moverse de acuerdo a las especificaciones de la dinámica. Las partículas desaparecen en golpear a la absorción de una barrera, de lo contrario se continuará moviéndose de un sitio a otro. A continuación, nuestro objetivo es tener una proporción $\alpha^tm(n)$ de las partículas en el sitio $n$ tiempo $t$, para una adecuada tasa de $a$. Si $m$ es una distribución de probabilidad, esto producirá $P_m(T\ge t)=\alpha^t$ donde el subíndice $m$ indica que $P(X_0=n)=m(n)$ por cada $n$$1$$L-1$.
La condición de cuasi-estacionario con tasa de $\alpha$ lee como $m(0)=m(L)=0$ y, para cada sitio de $n$$1$$L-1$,
$
\alpha m(n)=pm(n-1)+qm(n+1).
$
La solución general de este sistema de ecuaciones lineales es $m(n)=As^n+Bt^n$ para valores adecuados de a $A$ $B$ donde $s$ $t$ resolver la ecuación característica
$$
\alpha x=p+qx^2.
$$
La condición de que $m(0)=0$ rendimientos $B=-A$. La condición de que $m(L)=0$ rendimientos $s^L=t^L$. Esto sólo puede suceder si las dos raíces $s$ $t$ de la ecuación característica son el conjugado del número complejo cuyo argumento $u$ es un múltiplo de a $\pi/L$. Por lo tanto, $s=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}u}$ $t=r\mathrm{e}^{-\mathrm{i}u}$ donde
$$
r^2=p/q,\qquad 2r\cos(u)=\alpha/q.
$$
A continuación, $m$ es proporcional a la medida de $m_\alpha$ define, para cada sitio de $n$, por
$$
m_\alpha(n)=r^n\sin(nu).
$$
La condición de que $m_\alpha(n)\ge0$ por cada sitio de $n$ implica que el $Lu\le\pi$. Desde $Lu$ debe ser un múltiplo de $\pi$, esto obliga a $u=\pi/L$ y
$$
\alpha=\cos(\pi/L)\sqrt{4pq}.
$$
Como dije al principio, lo anterior demuestra que, para cada tiempo de $t$,
$$
\sum_{n=1}^{L-1}m_\alpha(n)P_n(T\ge t)=\alpha^t|m_\alpha|,
$$
donde $|m_\alpha|$ denota la masa total de la medida $m_\alpha$. Por lo tanto, para cada sitio de $n$ y el tiempo de $t$,
$$
P_n(T\ge t)\le c_n\alpha^t,\qquad c_n=|m_\alpha|/m_\alpha(n).
$$
En la otra dirección, se puede demostrar que, para cada sitio de $n$, existe una positiva $b_n$ tal que, para cada tiempo de $t$,
$$
P_n(T\ge t)\ge b_n\alpha^t.
$$
Finalmente, $P(T\ge t)\to0$ geométricamente rápido al$t\to+\infty$, con una tasa conocida $\alpha$ de la convergencia. Por lo tanto,
$$
P(T\le t)=1-\Theta(\alpha^t),\qquad \alpha=\cos(\pi/L)\sqrt{4pq}.
$$
Nota Si $L=2$, $\alpha=0$ y uno comprueba que $P_1(T\ge t)=0$ por cada $t\ge2$. Si $L=3$, $\alpha=\sqrt{pq}$ y uno comprueba que $P_n(T\ge 2t+1)=(pq)^t$ $n=1$ o $n=2$, y para cada $t\ge0$.
Esto se refiere a la segunda formulación de la pregunta, solicitando la probabilidad de absorción en $0$ antes de un momento dado, condicionalmente por absorción en $0$, y utiliza la solución anterior.
Para cada $n$, vamos a $h(n)=P_n(T_0<T_L)$. A continuación, $(h(n))$ es la única solución del sistema lineal de ecuaciones $h(0)=1$, $h(L)=0$, y $h(n)=ph(n+1)+qh(n-1)$ por cada sitio de $n$$1$$L-1$. Deje $P^0$ denotar la probabilidad de $P$ condicionada por el evento de que el paseo aleatorio hits $0$ (y, como consecuencia, no golpea $L$). En $P^0$, el paseo aleatorio se convierte en el llamado Doob $h$-transformación de la original de paseo aleatorio, en el sentido de que todavía es una cadena de Markov, pero con probabilidades de transición
$$
P^0(X_{t+1}=n+1|X_t=n)=p^0_n=1-P^0(X_{t+1}=n-1|X_t=n),
$$
donde
$$
p^0_n=ph(n+1)h(n)^{-1}.
$$
Como consecuencia, en virtud de $P^0$, para cada camino de $\gamma$ que comienza a partir de $\gamma(0)$, termina en $\gamma(T)$ y evita la $L$, la probabilidad de $P^0(\gamma)$ que el paseo aleatorio de la siguiente manera $\gamma$ condicionalmente en $X_0=\gamma(0)$ está relacionado con el equivalente a la probabilidad de $P(\gamma)$ bajo $P$ por la fórmula
$$
P^0(\gamma)=P(\gamma)h(\gamma(T))h(\gamma(0))^{-1}.
$$
Ahora, para cada sitio de $n$$1$$L-1$,
$$
P^0_n(T_0\ge t)=\sum_\gamma P^0(\gamma)=\sum_\gamma P(\gamma)h(\gamma(T))h(n)^{-1},
$$
donde la suma enumera todos los caminos $\gamma$ de la longitud de la $t$, el cual comenzará a partir de $n$ y terminar en un sitio entre $0$ $L-1$ (y, como consecuencia, evitar la $L$). Es decir,
$$
P^0_n(T_0\ge t)=\sum_{k=0}^{L-1}P_n(T\ge t,X_t=k)h(k)h(n)^{-1}.
$$
Lo que ocurre es que la secuencia de $(h(k))$ es nonincreasing por lo tanto $h(L-1)\le h(k)\le1$ por cada $k$ $0$ $L-1$ y
$$
P_n(T\ge t)h(L-1)h(n)^{-1}\le P^0_n(T_0\ge t)\le P_n(T\ge t)h(n)^{-1}.
$$
Ya sabemos que $P_n(T\ge t)\to0$ geométricamente rápido al$t\to+\infty$, con una tasa de $\alpha$, de ahí que el mismo asymptotics tiene por $P^0_n(T_0\ge t)$.
Tenga en cuenta, finalmente, que, para cada sitio de $n$$0$$L$,
$
h(n)=\displaystyle\frac{\left(p/q\ \ derecho)^{L-n}-1}{\left(p/q\ \ derecho)^L-1},
$
si $p\ne q$, e $h(n)=1-(n/L)$ lo contrario, y que
$$
P_n(T\ge t)h(L-1)\le P^0_n(T_0\ge t)\le P_n(T\ge t)h(L-1)^{-1}.
$$
