Subgrupos de Sylow

Question

Sea $G$ un grupo finito, $H$ y $K$ subgrupos de $G$ tales que $G=HK$. Demuestra que existe un $p$-subgrupo de Sylow $P$ de $G$ tal que $P = (P \cap H)(P \cap K).

No es difícil probar que existen $p$-subgrupos de Sylow de $H$ y $K$, $P_1$ y $P_2$ respectivamente, tales que $P_1 \cap P_2$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $H \cap K$, pero no puedo garantizar que $P_1P_2$ sea un subgrupo de $G$ (y por lo tanto el $p$-subgrupo de Sylow de $G$ que estamos buscando). ¿Hay alguna forma de completar la prueba o no es el camino correcto?

Answer 1

Los siguientes pasos llevan a una solución:

(1) Primero encontremos un $p$-subgrupo de Sylow $P$ de $G$ tal que $P\cap H$ sea un $p$-subgrupo de Sylow de $H$ y $P\cap K$ sea un $p$-subgrupo de Sylow de $K$. Sea $P_1$ un $p$-subgrupo de Sylow de $H$ y $P_2$ un $p$-subgrupo de Sylow de $K$. Elija un $p$-subgrupo de Sylow $Q$ de $G$ tal que $P_1\subseteq Q$. Sabemos que existe un $g\in G$ tal que $P_2\subseteq Q^g$. En particular, $Q\cap H=P_1$ y $Q^g\cap K=P_2.

(2) Podemos escribir $g=hk$ para algún $h\in H$ y $k\in K. Úselo para encontrar un $p$-subgrupo de Sylow $P$ de $G$ tal que $P\cap H$ y $P\cap K$ sean $p$-subgrupos de Sylow de $H$ y $K, respectivamente.

(3) Es claro en esta situación que $P=(P\cap H)(P\cap K).

¡Gracias por hacer esta pregunta! Me animó a pensar sobre grupos finitos (un tema hermoso) que no he hecho por unos meses. Si tiene más preguntas, por favor no dude en hacerlas.