Mostrar que $f(x)={x\over2}+c$, donde $c$ es una constante

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función de la satisfacción de $|f(x+y)-f(x-y)-y|$$\le y^2$

para todos los $x,y\in\mathbb{R}$. Mostrar que $f(x)={x\over2}+c$ donde $c$ es una constante.

Answer 1

Sugerencia:

Set$x-y = z$$2y = h$.

Deje $\epsilon > 0$ ser dado.

Tenemos $\bigg|\dfrac{f(z+ h) - f(z)}{h} - \dfrac{1}{2} \bigg| \le \dfrac{h^2}{4}$.

Así que si tomamos $|h| < 2 \sqrt{\epsilon}$,$\bigg|\dfrac{f(z+ h) - f(z)}{h} - \dfrac{1}{2}\bigg | < \epsilon$, esto significa $f'(z)$ existe y es igual a $\dfrac{1}{2}$. Resto es trivial.