Encontrar el valor de $3+7+12+18+25+\ldots=$

Question

Ahora, esto puede ser un problema muy sencillo pero me encontré con esto en un examen y yo no podía resolver.

Encontrar el valor de

$$3+7+12+18+25+\ldots=$$

Ahora, aquí está mi pruebe

$$3+7+12+18+25+\ldots=\\3+(3+4)+(3+4+5)+(3+4+5+6)+(3+4+5+6+7)+\ldots=\\3n+4(n-1)+5(n-2)+\ldots$$

Después de eso, yo no podía continuar.

Answer 1

La secuencia está dada por $a_i = \frac{i(i+5)}{2}$. La suma es finita dada por \begin{align} S_n & = \sum_{i=1}^n a_i \\ & = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n i^2 + \frac{5}{2} \sum_{i=1}^n i \\ & = \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{5n(n+1)}{4} \\ & = \frac{n(n+1)(n+8)}{6} \end{align}

EDIT: (En respuesta a los comentarios) Hasta un cierto punto, la búsqueda de la fórmula para $a_i$ es de prueba y error. Sin embargo, no es difícil señalar aquí que la diferencia de la diferencia de los términos siempre es 1 (es decir,$\Delta^2 a_i = 1$). Esto implica que la dependencia es cuadrática. El uso de $a_i = A i^2 + B i + C$ podemos determinar la fórmula con tres términos.

Answer 2

Aunque prefiero Gregorio respuesta que calcula directamente, aquí es otro enfoque:

Aviso:

$s_1 = 3$; $s_2 = 10$; $s_3 = 22$; $s_4 = 40$; $s_5 = 65$

Deje $s_n = an^3 + bn^2 + cn + d$

Ahora, resolver el sistema de ecuaciones dado por

$s_1 = 3$; $s_2 = 10$; $s_3 = 22$; $s_4 = 40$;

para encontrar que:

$a = 1/6, b = 3/2, c = 4/3, d = 0$, por lo tanto:

$s_n = 1/6n^3 + 3/2n^2 + 4/3n$

que los rendimientos de la misma como Gregorio respuesta.

Answer 3

Si se conoce el valor de $n$ $$3+7+12+18+25+\ldots=\\3n-3n+3+7+12+18+25+\ldots$$ As $3=1+2$ we can write as $$\\1+2+3+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4+5+6)+\ldots-3n=\\\left(\sum_{n=3}^n{\frac{n(n+1)}{2}}\right)-3n$$

Answer 4

Voy a agregar otra respuesta porque la gente se pregunte cómo encontrar $a_n$ sin ensayo y error.

Tomamos nota de que:

$a_2 - a_1 = 4; a_3 - a_2 = 5; a_4 - a_3 = 6$,

lo que nos lleva a la conclusión de que la $a_n$ está dada por la relación de recurrencia:

$a_{n+1} - a_n = n+3$

Vamos a empezar por la solución de la ecuación homogénea:

$a_{n+1} - a_n = 0$

El polinomio asociado es $P(r) =r - 1$. La raíz de este polinomio es $r = 1$. Por lo tanto, una solución a la ecuación homogénea es $a_n^{h} = 1^n = 1$.

Ahora, queremos encontrar una solución particular, así que vamos a intentar $a_n^{p} = An + B$.

Entonces:

$A(n+1) + B - An - B= n+3$. Esto no funciona.

Vamos a tratar de $a_n^{p} = An^2 + Bn + C$

Por lo tanto:

$A(n+1)^2 + B(n+1) + C - An^2 - Bn - C = n +3$

a partir de la cual de la siguiente manera:

$2A = 1, A + B = 3, C \in \mathbb{R}$.

Por lo tanto:

$A = 1/2; B = 5/2; C \in \mathbb{R}$

Por lo tanto, $a_n^p = 1/2n^2 + 5/2n + C$

y

$a_n = a_h + a_p = 1 + 1/2n^2 + 5/2n + C = 1/2n^2 + 5/2n + D$

Debido a $a_1 = 3$, se deduce que el $D = 0$.

Llegamos a la conclusión de que $a_n = 1/2n^2 + 5/2n \quad \triangle$

Answer 5

Esta respuesta es la única que no usar el método de prueba y error para encontrar la expresión para el $n$-ésimo término.

Nuestros suma está dada por :

$$ S=3+7+12+18+...+T_n \\ S=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3+7+12+18+...+T_n-1+T_n $$ Restando estas dos cantidades : $$ 0=3+4+...+(n+2)-T_n \\ T_n=3+4+...+(n+2) \\ T_n=\frac{(n+2)(n+3)}{2}-3 =\frac{n(n+5)}{2} $$

Ahora, usted puede utilizar Gregorio respuesta a la figura de la suma.