Si $1+g(x)^2$ tiene un factor irreducible de grado impar en $F[x]$, entonces hay algunas $a\in F$ tal que $a^2 =-1$

Question

Deje $F$ ser un campo y $g(x)$$F[x]$. Probar si $1+g(x)^2$ tiene un factor irreducible de grado impar, entonces existe $a$ $F$ tal que $a^2 =-1$.

No me llega demasiado lejos en este problema. Parece que no es una Teoría de Galois de campo o problema con la extensión ya que no sabemos mucho acerca de nuestro campo.

Empecé a buscar en las raíces de $1+g(x)^2$ desde entonces $g(r)^2 =-1$ para root $r$ como queremos. Yo en realidad no llegar a ninguna parte con eso.

Sabemos $F[x]$ es un Dominio Euclídeo, y parece que el Algoritmo de Euclides puede ser útil. Sabemos $1+g(x)^2 =f(x)p(x)$ para irreductible $f(x)$$1=f(x)p(x)+(-g(x))g(x)$.

Alguna idea?

Answer 1

Deje $\alpha$ ser un cero de $f$ en algunos extensión de $F$. Deje $a = g(\alpha)$.

Ahora, $a \in F[\alpha]$, e $a^2 = -1$ desde $1 + a^2 = f(\alpha)\cdot p(\alpha) = 0$.

Ya tenemos $a \in F$, debido a $[F(\alpha) : F] = \deg f \equiv 1 \pmod{2}$, por lo que el polinomio mínimo de a $a$ tiene grado impar. Ya que es un divisor de a $X^2+1$, el grado es $1$.

Answer 2

Sugerencia: Deje $f(x)$ ser el factor irreducible. Considere la posibilidad de la extensión del campo $K=F[x]/(f(x))$. El uso de la última línea de tu pregunta demostrar que $-1$ es un cuadrado en el campo de $K$. Debido a $[K:F]$ es impar, muestran que la norma $N^K_F(\sqrt{-1})$ es una raíz cuadrada de $-1$$F$.