Si usted tiene más de un campo de tipo char. $0$, entonces sí, es cierto que la fibra de más de un punto genérico de la imagen se reduce. Para ver esto, primero reemplace $W$ con el cierre de la imagen de $\phi$, así como para suponer que $\phi$ es dominante. A continuación, los morfismos $\phi$ corresponde a una inyección de finito de tipo de dominios $k$, decir $A \hookrightarrow B$. (La inyectividad de la siguiente manera a partir de la posición de dominio de $\phi$.) Ahora echemos un vistazo a los genéricos de la fibra de $\phi$: esta es la Especificación del producto tensor $K(A) \otimes_A B$ (aquí se $K(A)$ denota la fracción de campo de $B$), que es una localización de $B$, y así un dominio (y por lo tanto reduce). Ahora si estamos en char. cero, la reducción de la $K(A)$-álgebra $K(A)\otimes_A B$ es necesariamente geométricamente reducido (es decir, queda reducido a raíz de la extensión de una expresión algebraica cierre de $K(A)$), y la propiedad de las fibras de ser geométricamente reducido está abierta en la base, es decir, en Espec $A$; de modo que las fibras en un subconjunto abierto de la imagen de $\phi$ será reducido. (Ver, por ejemplo, Thm. 2.2 de estas notas. Usted puede encontrar esto en muchos lugares (aunque mabye no Hartshorne); estas notas son sólo lo que se convirtió en cerca de la parte superior de una rápida búsqueda en google.)
En char. $p$, esto no tiene que ser verdadero. E. g. considerar la Frobenius mapa de $\mathbb A^1 \to \mathbb A^1$, dado por $x \mapsto x^p$. A continuación, la fibra durante cada (cerrado) el punto no es reducido. (La fibra durante el genérico punto es reducido, pero no geométricamente reducido.) Sin embargo, si el genérico de fibra (en el esquema teórico de sentido) es geométricamente reducida, entonces la fibra sobre un conjunto abierto cerrado de puntos se reduce demasiado.
