Euclidiana numérico de radio de los operadores

Question

Deje $E$ ser un espacio de Hilbert complejo, $\mathcal{L}(E)$ ser el álgebra de todos los delimitada lineal de operadores en $E$.

Es bien sabido que $\displaystyle\frac{1}{2}\|A\|\leq \omega(A)\leq\|A\|$.

Gelu Popescu tiene un gran papel en multivariable generalizaciones numérica de la radio (Memorias de la AMS, arXiv). Por otra parte, se establece en la Proposición $2.4$ que $(A_1,...,A_d) \in \mathcal{L}(E)^d$ tenemos: $$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{d}}\left\|\displaystyle\sum_{k=1}^dA_kA_k^* \right\|^{1/2}\leq \omega_e(A_1,\cdots,A_d) \leq \left\|\displaystyle\sum_{k=1}^dA_kA_k^* \right\|^{1/2},$$ donde $$\omega_e(A_1,\cdots,A_d)=\displaystyle\sup_{\|x\|=1}\bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^d|\langle A_kx\;|\;x\rangle|^2\bigg)^{1/2}.$$ Pero me estoy enfrentando dificultades para entender su prueba.

Mi objetivo es conseguir un elemental prueba de este resultado. Tenga en cuenta que es fácil establecer la segunda desigualdad, pero me estoy enfrentando dificultades para demostrar que $$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{d}}\left\|\displaystyle\sum_{k=1}^dA_kA_k^* \right\|^{1/2}\leq \omega_e(A_1,\cdots,A_d).$$

Y por tu ayuda.

Answer 1

La fórmula $$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{d}}\left\|\displaystyle\sum_{k=1}^dA_kA_k^* \right\|^{1/2}\leq \omega_e(A_1,\cdots,A_d),$$ es equivalente a $$\displaystyle\sup_{\|x\|=1}\bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^d\| A_k^*x\|^2\bigg)\leq (4d)\displaystyle\sup_{\|x\|=1}\bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^d|\langle A_kx\;,\;x\rangle|^2\bigg).$$ Pero si $A_1=A_k$ todos los $k=2,\cdots,d$, entonces tenemos $$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{d}}\|A\|\leq \omega(A),$$ que los rendimientos a una contradicción.