Todos son infinitas sumas no divergentes? En la teoría cuántica de campos

Question

Yo soy un físico interesados en la física. En particular, esta pregunta está relacionada con la teoría cuántica de campos.

Recientemente me encontré con una derivación de la infinita suma $1+1+1+1+..... $ que produce el resultado -1/2, también conocido como zeta de regularización (de Terry Tao del blog)

Esto fue muy sorprendente para mí, ya que anteriormente había conocido una infinita suma de 1s a ser divergentes - de tomar un curso de física, matemáticas por la persona que escribió "el libro" en asintótica métodos.

(De hecho, yo he conocido a la suma de todos los enteros positivos que ser finito por bastante tiempo, así como muchos otros "divergentes" sumas y tengo toda la idea detrás de la sumación de métodos como el de Padé, los Mangos, Euler, etc.)

De todos modos esto me llevó a preguntarme;

1. TODOS son infinitas sumas no divergentes?
2. Si no, entonces ¿cómo puede determinar si una suma de os divergentes o no?
3. De qué iba todo esto de los negocios en pregrado cálculo sobre el aprendizaje de las pruebas de convergencia y de todo este negocio en el complejo análisis sobre la serie si cosas extrañas como $1+1+1+1+.....$ son en realidad convergentes??

Todavía estoy confundido por todo esto. Y no he encontrado una respuesta a estas preguntas que hacer "clic"

Cualquier ayuda a entender este tema se amablemente apreciado.

Answer 1

No, muchos infinito sumas convergen. Una infinita suma (o "series") $a_0 + a_1 + a_2 + \dots$ se define a converger a un valor de $S$ si el límite $$ S = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n a_i$$ exists. For example, if the value of $a_i$ falls off exponentially quickly or as a power law faster than $1/i$, entonces la serie converge. La convergencia de diversas pruebas que has aprendido en el cálculo puede dar más precisa de los criterios de convergencia.

La serie infinita $1 + 1 + 1 + \dots$ es no convergente - el límite anterior no existe. Sin embargo, es regularizable , es decir, puedes jugar algunos trucos de los que "vencer en forma" lo suficiente como para que usted puede asignar un número finito. Pero este número finito es no , en realidad la suma, que no existe. Se regularizable es un criterio mucho más débil que el de ser convergente.

Así que cuando usted viene a través de una divergente la serie en QFT y reemplazarlo con su regularizado valor, es muy importante que usted tome en cuenta que las dos cantidades no son iguales. A pesar de ser muy importante, hay aproximadamente cero físicos que de hecho lo hacen.

Edit: el OP preguntó una muy buena pregunta en los comentarios que yo, sin embargo, fue la pena abordar en mi principal respuesta: si la imposición de diferentes reguladores en el mismo divergentes de la serie siempre se obtiene el mismo resultado. Si alguien tiene alguna idea, me he planteado esa pregunta en http://math.stackexchange.com/questions/1854642/can-different-choices-of-regulator-assign-different-values-to-the-same-divergent. También, una vez le pregunté a una pregunta relacionada a Cómo pueden dimensiones de regularización "analíticamente continuar" a partir de un conjunto discreto? para los que nunca obtuve una respuesta satisfactoria.

Answer 2

Leer más detenidamente la primera parte de Terry Tao del post. Él reemplaza a la de regular las sumas parciales con una suma suavizada

$$\sum_{n=1}^N n^s \to \sum_{n=1}^\infty \eta(n/N) n^s$$

donde $\eta$ es un corte de la función. El resultado se encuentra que para el alisado suma de $1+1+1+\dots$ (caso de $s=0$) es

$$\sum_{n=1}^\infty \eta(n/N) = - \frac 1 2 + C_{\eta,0} N + O(1/N)$$

donde

$$C_{\eta,0} =\int_0^\infty \eta(x) dx$$

En el lado derecho hay un asintótica de expansión de la suma suavizada. Como se puede ver, en efecto, hay un término constante $-1/2$, pero el siguiente término es divergente en el límite de $N \to \infty$. Así es engañoso estado que

$$1+1+1+\dots = -1/2$$

debido a $-1/2$ es sólo el término constante de un asintótica expansión, que es divergente en el límite de $N\to \infty$.

Lo que se suele hacer en QFT (ver Luboš Motl la respuesta aquí , por ejemplo) para cancelar la principal divergencia por medio de un local counterterm. Básicamente, un "truco" se utiliza para ged deshacerse de la divergencia y ser capaz de escribir $1+1+1+\dots=-1/2$.