Porque siempre está evaluando el límite, esto es un asintótica de expansión de la expresión explícita de las soluciones. Escribir
$$x=2\pi n +\epsilon$$
Usted obtener
$$\sin \epsilon=\frac{1}{2\pi n +\epsilon}$$
Su primer límite en esta notación es
$$a=\lim_{n\to\infty}n\epsilon$$
Estamos buscando la serie para $\epsilon$ expandido en inversa poderes de $n$.
$$z=\frac{1}{2\pi n} = \frac{1}{\frac{1}{\sin \epsilon}-\epsilon}=f(\epsilon)$$
Formalmente, esto se hace. Utilice el Lagrange Inversión Teorema de expresar la inversa de a $f(\epsilon)$ poder de una serie de $z$:
$$\epsilon(z)=\sum \frac{z^k}{k!} \lim_{x\to 0}\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(\frac{x}{f(x)}\right)^k$$
$$=\sum \frac{z^k}{k!} \lim_{x\to 0}\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}\left(\frac{x}{\sin x}-x^2\right)^k$$
El primer término (k=1):
$$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin x}-x^2\right)=1$$
El segundo término (k=2):
$$\lim_{x\to 0}\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sin x}-x^2\right)^2=$$
$$\lim_{x\to 0}2\left(\frac{x}{\sin x}-x^2\right)\left(\frac{\sin x-x \cos x}{\sin^2 x}-2x\right)=0$$
Mathematica dice que el tercer término es $-5$ y el cuarto es de nuevo de cero. Usted puede escribir
$$\epsilon=\frac{1}{2\pi n}-\frac{5}{3!}\frac{1}{(2\pi n)^3}+\frac{169}{5!}\frac{1}{(2\pi n)^5}-\frac{15063}{7!}\frac{1}{(2\pi n)^7}\cdots$$
Me doy cuenta de que esto no es una solución muy elegante y los términos en la expansión no parecen seguir ningún patrón simple - la función de $f$ es demasiado feo. Yo hice la mitad de este en papel por lo que si hice alguna errores estúpidos, por favor, seleccione el.
