¿Por qué? $\widehat{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}\cong\mathbb{Z}$ ?

Question

$\widehat{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}\cong\mathbb{Z}$ es decir, cada carácter de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es de la forma $x\mapsto e(mx)$ para algún número entero $m$ .

Estaba considerando la dualidad de ${\mathbb{R}/\mathbb{Z}}$ . Lo que me confunde es por qué podemos asignar un número entero $m$ al personaje $\chi.$

Gracias por adelantado. ¡Se agradece cualquier comentario!

Answer 1

Podemos identificar $\mathbb R / \mathbb Z$ con el grupo de círculos $\mathbb T=\{z \in \mathbb C \mid |z|=1\}$ , con la multiplicación procedente de $\mathbb C$ . Trazamos un mapa $x \to e^{2 \pi i x}$ . Entonces $x+y \pmod 1 \mapsto e^{2 \pi i (x+y) \pmod {2\pi}}$ por lo que será un isomorfismo de grupo.

Entonces los caracteres de $\mathbb T$ son los homomorfismos de grupo continuos de $\mathbb T \to \mathbb T$ . Así que, pensando en esto geométricamente, empezamos en $1$ y luego dar la vuelta al círculo un número entero de veces. Debe ser un número entero porque los homomorfismos de grupo deben mapear $1$ a $1$ . El sentido contrario a las agujas del reloj o el sentido de las agujas del reloj corresponderá a los números enteros positivos y negativos. Evidentemente, cada número entero nos dará un carácter diferente y así obtenemos todos los caracteres.

Así, el conjunto de caracteres viene dado por $$\{x \mapsto e^{2 \pi imx} \mid m \in \mathbb Z \}, \text{ for } x \in \mathbb R/\mathbb Z.$$

Answer 2

$m$ es el tamaño de la preimagen de 1. (Y $m=0$ si la preimagen lo es todo).