En matemáticas, la raíz cuadrada de una matriz extiende la noción de raíz cuadrada de los números a las matrices.

Question

Encontrar la Suma de $$\bigg\lfloor 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{50}}\bigg\rfloor$$

$\bf{My\; Try::}$ Deje $\displaystyle y=f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\;,$, a Continuación, dibuje el gráfico en el eje de coordenadas, Tenemos

$$\displaystyle \int_{1}^{51}\frac{1}{\sqrt{x}}dx<\sum^{50}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{k}}<1+\int_{1}^{50}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$

Así, obtenemos $$\displaystyle 2\left(\sqrt{51}-1\right)<\sum^{50}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{k}}<1+2(\sqrt{50}-1)$$

Así, obtenemos $$12.28<\sum^{50}_{k=1}\frac{1}{\sqrt{k}}<13.14$$

Pero la respuesta dada es $12,$ Cómo cai puedo resolver avobe pregunta, la Ayuda Necesaria, Gracias

Answer 1

Por el mismo método, encontrará $m>1$ $$ 2(\sqrt{51}-\sqrt m)<\sum_{k=m}^{50}\frac1{\sqrt k}<2(\sqrt{50}-\sqrt{m-1})$$ Con $m=5$ ($m=4$sería suficiente, pero es "más difícil de calcular", ya que implica más numérico de la raíz cuadrada cálculos), esto nos da $$\begin{align}\sum_{k=1}^{50}\frac1{\sqrt k}&<1+\frac1{\sqrt 2}+\frac1{\sqrt 3}+\frac1{\sqrt 4}+2(\sqrt{50}-\sqrt 4)\\ &<1+0.71+0.58+0.5+14.15-4 \\ &=12.94\end{align}$$

Answer 2

$$ \sum_{k=1}^{50} \frac 1 {\sqrt{k}} = \int_1^{51} \frac 1 {\sqrt{x}} \, dx + \text{un poco más} = 2(\sqrt{51} - 1) + \text{un poco más}. $$ Sólo tenemos que demostrar que ese "poco" es lo suficientemente pequeño. Una cuidadosamente dibujado el gráfico muestra por qué $$ \text{que poco} < \left( 1 - \frac 1 {\sqrt 2} \right) + \left( \frac 1 {\sqrt 2} - \frac 1 {\sqrt 3} \right) + \left( \frac 1 {\sqrt 3} - \frac 1 {\sqrt 4} \right) + \cdots + \left( \frac 1 {\sqrt{50}} - \frac 1 {\sqrt{51}} \right) $$ y todos los términos cancelar excepto el primero y el último, por lo que $$ \text{que poco} < 1 - \frac 1 {\sqrt{51}}. $$ Que no acaba de hacerlo, por lo que perfeccionar la técnica: $$ \frac 1 {\sqrt 1} = \int_1^2 \frac{dx}{\sqrt x} + \text{un poco} = 2(\sqrt 2 - 1) + \text{un poco}. $$ Que poco se puede encontrar de forma numérica y está a menos de $60\%$$1 - \dfrac 1 {\sqrt 2}$.

En todos estos últimos términos, el $60\%$ sería reemplazado por algo mucho menor que $60\%$ (pero siempre más grande que la de $50\%$ por razones que debería ser obvio a partir de la observación del gráfico).

Así $$ \text{poco} < 0.6\times \left( 1 - \frac 1 {\sqrt 2} \right) + \left( \frac 1 {\sqrt 2} - \frac 1 {\sqrt 3} \right) + \left( \frac 1 {\sqrt 3} - \frac 1 {\sqrt 4} \right) + \cdots + \left( \frac 1 {\sqrt{50}} - \frac 1 {\sqrt{51}} \right) $$ y el que lo hace.

Answer 3

Es mucho más fácil si usted centrado en el uso de las integrales. Un poco de álgebra muestra que $$\begin{align}\int_{k-\frac12}^{k+\frac12}\frac{dx}{\sqrt x}-\frac1{\sqrt k}&=\frac1{2\sqrt k\left(\sqrt{k+\frac12}+\sqrt{k-\frac12}\right)^2\left(\sqrt{k}+\sqrt{k-\frac12}\right)\left(\sqrt{k+\frac12}+\sqrt{k}\right)}\\ &\le\frac1{32\left(k-\frac12\right)^{5/2}}\end{align}$$ Por lo tanto la evaluación el primer error exactamente y delimitación del resto, por el número de términos que a veces el error más grande, $$0\le\int_{\frac12}^{\frac{101}2}\frac{dx}{\sqrt x}-\sum_{k=1}^{50}\frac1{\sqrt k}\le0.03527618+49\cdot0.005681136=0.313651854$$ $$\int_{k-\frac12}^{k+\frac12}\frac{dx}{\sqrt x}=2\sqrt{\frac{101}2}-2\sqrt{\frac12}=12.798457$$ Así $$12.484805\le\sum_{k=1}^{50}\frac1{\sqrt k}\le12.798457$$ Por lo que la suma de centrado integrales era lo suficientemente preciso para determinar el piso de la suma. Por supuesto, tuvimos que precisa obligado el error...

EDIT: No es mucho menos intenso de manera de desarrollar un error útil obligado. Comenzar con la serie de Taylor $$2\sqrt{k+\frac12}=2\sqrt k+2\frac{\left(\frac12\right)}{1!}\frac{\left(\frac12\right)}{k^{1/2}}+2\frac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)}{2!}\frac{\left(\frac12\right)^2}{k^{3/2}}+2\frac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{3!}\frac{\left(\frac12\right)^3}{\xi_{2k}^{5/2}}$$ $$2\sqrt{k-\frac12}=2\sqrt k+2\frac{\left(\frac12\right)}{1!}\frac{\left(-\frac12\right)}{k^{1/2}}+2\frac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)}{2!}\frac{\left(-\frac12\right)^2}{k^{3/2}}+2\frac{\left(\frac12\right)\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{3!}\frac{\left(-\frac12\right)^3}{\xi_{2k-1}^{5/2}}$$ Con $\xi_{2k}>k+\frac12$$\xi_{2k-1}>k-\frac12$. La simplificación y la resta, $$2\sqrt{k+\frac12}-2\sqrt{k-\frac12}=\frac1{\sqrt k}+\frac1{8\sqrt2}\left(\frac1{(2\xi_{2k-1})^{5/2}}+\frac1{(2\xi_{2k})^{5/2}}\right)$$ De manera de que nuestra estimación del error de lee $$0\le\int_{\frac12}^{\frac{101}2}\frac{dx}{\sqrt x}-\sum_{k=1}^{50}\frac1{\sqrt k}=\frac1{8\sqrt2}\sum_{k=1}^{100}\frac1{(2\xi_k)^{5/2}}<\frac1{8\sqrt2}\sum_{k=1}^{100}\frac1{k^{5/2}}<\frac1{8\sqrt2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}{48\sqrt2}$$ Así que ahora tenemos $$12.798457-\frac{\pi^2}{48\sqrt2}=12.653064<\sum_{k=1}^{50}\frac1{\sqrt k}<12.798457$$ Así de esta manera hemos desarrollado un error analítico vinculado con la suficiente precisión sin numérica de trabajo, una simple fórmula. Esto, junto con la evaluación de la primitiva en los extremos, era suficiente para establecer que $$\left\lfloor\sum_{k=1}^{50}\frac1{\sqrt k}\right\rfloor=12$$

Answer 4

Puede ser, usted podría haber utilizado $$\sum_{i=1}^n \frac 1 {\sqrt n}=H_n^{\left(\frac{1}{2}\right)}$$ donde aparecen la generalizada armónica de los números y, a continuación, han utilizado sus expansiones asintóticas $$H_n^{\left(\frac{1}{2}\right)}=2 \sqrt{n}+\zeta \left(\frac{1}{2}\right)+\frac 1 {2\sqrt{n}}-\frac{1}{24n\sqrt{n}} +O\left(\frac{1}{n^{5/2}}\right)$$

Para $n=50$, limitando a $O\left(\frac{1}{n^{1/2}}\right)$, esto daría $\approx 12.6818$; la limitación de a $O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$, esto daría $\approx 12.7525$; imiting a $O\left(\frac{1}{n^{5/2}}\right)$, esto daría $\approx 12.7524$.