Cómo mostrar que $f_{n}(x)=\frac{1}{1+x^{n}}$ converge uniformemente a$1$$[0,a]$$0<a<1$?

Question

El problema es el siguiente. Tengo un video $f_{n}(x)=\frac{1}{1+x^{n}}$ y tengo que demostrar por qué $f_{n}$ converge uniformemente en $[0,a]$, $0<a<1$ y por qué no converge uniformemente en $[0,1]$.

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Sé que $f_{n}$ es un video de funciones continuas en $[0,1]$, pero su función de límite de $$f(x)=\cases{1 & if $x<1$ \\ 1/2 & if $x=1$ }$$

tiene una discontinuidad en $1$, por lo tanto $f_{n}$ no converge uniformemente en $[0,1]$. Ahora, sólo tengo que demostrar que $f_{n}$ converge uniformemente en $[0,a]$, pero aquí es donde estoy atascado. Sin éxito, he tratado de hacerlo directamente de la definición. ¿Tiene usted alguna sugerencia que me pueda ayudar?

Answer 1

Tenga en cuenta que para $x \in [0,a]$$1 \ge \frac{1}{1+x^n} \ge \frac{1}{1+a^n}$. Ahora muestran que $\frac{1}{1+a^n}$ tiende a $1$$n$$\infty$.

Answer 2

Sugerencia. Uno tiene que $$ f_{n}'(x)=-\frac{nx^{n-1}}{(1+x^{n})^2}\leq0,\quad x \in [0,a], $$ thus $f_n$ is decreasing over $[0,a]$ y $$\sup_{x \in [0,a]}f_{n}(x)=f_n(0)=1. $$ Ahora tenemos $$ \sup_{x \in [0,a]}\left|f_{n}(x)-1\right|=\sup_{x \in [0,a]}\left|-\frac{x^n}{1+x^n}\right|\leq \frac{a^n}{1+a^n}\leq a^n, $$ then use $0<a<1$.

Answer 3

Pensé que sería útil presentar un profe que utiliza directamente la definición de la convergencia uniforme. Para ello, vamos a proceder.

Dado $\epsilon>0$ tenemos para $x\in [0,a]$ $0<a<1$

$$\begin{align} \left|\frac{1}{1+x^n}-1\right|&=\frac{x^n}{1+x^n}\\\\ &\le x^n\\\\ &\le a^n\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $n>\log(\epsilon)/\log(a)$