Versión del teorema de Hahn-Banach

Question

Problema: Sea $X$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $Y \subset X$ un subespacio lineal. Sea $p: X \to \mathbb{R}$ sea una función sublineal y $f: Y \to \mathbb{R}$ lineal con $f \leq p$ en $Y$ (por Hahn-Banach esto se puede ampliar, por supuesto)

Considerar ahora $G \subset \mathcal{L}(X)$ un subconjunto de operadores lineales acotados $T: X \to X$ con las propiedades que id $_X \in G$ y para todos $A,B \in G, AB \in G$ y además $AB=BA$ .
Supongamos que para todo $A \in G$ tenemos $p(Ax) \leq p(x)$ para todos $x \in X, Ay \in Y$ y $f(Ay)=f(y)$ para todos $y \in Y$

Reclamación: Existe $F: X \to \mathbb{R}$ lineal con $F_{ \mid Y} =f, F \leq p$ en $X$ y $F(Ax)=F(x)$ para todos $x \in X$ y $A \in G$

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Mi enfoque: Me dan la pista para considerar $q(x):= \inf_{A_1, \dots , A_n} \frac{1}{n}p(A_1x + \dots + A_n x)$ donde el mínimo se toma sobre un número finito de $A_i \in G$ demuestre que $q$ es sublineal y $f(y) \leq q(y)$ para todos $y \in Y$ para aplicar Hahn-Banach.

Demostrando que $q$ es sublineal se deduce del hecho de que todas las $A_i$ son lineales y $p$ es sublineal por definición. Además para $y \in Y$ y $A_1, \dots , A_n \in G$ tenemos $$\begin{align} f(A_1y + \dots + A_ny) &= f(A_1y) + \dots + f(A_ny) =n f(y) \end{align}$$ Pero también $f(A_1y + \dots + A_ny) \leq p(A_1y + \dots + A_ny)$ por lo que tenemos $f(y) \leq \frac{1}{n}p(A_1y + \dots + A_ny)$ tomando el ínfimo obtenemos que $f(y) \leq q(y)$ en $Y$ .

Por Hahn-Banach existe $F: X \to \mathbb{R}$ lineal con $F_{ \mid Y} = f$ y $F(x) \leq q(x)$ para todos $x \in X$ . Sin embargo $p(A_1x + \dots + A_nx) \leq p(A_1x)+ \dots + p(A_nx) \leq n p(x)$ también se deduce que $q \leq p$ en $X$ que se encarga de la primera reclamación.

Necesito demostrar que $F(Ax)=F(x)$ para todos $x \in X$ y $A \in G$ retiene. Sería bueno si pudiera demostrar que $F(Ax) \leq F(x)$ entonces la otra desigualdad se seguiría por linealidad de $F$ . $$\begin{align}F(Ax) \leq q(Ax)&= \inf_{A_1, \dots , A_n} \frac{1}{n} p(A_1Ax + \dots + A_nAx) \\ &= \inf_{A_1, \dots , A_n} \frac{1}{n} p(AA_1x + \dots + AA_nx) \end{align}$$ Aquí me atasco. Mi(s) pregunta(s) sería(n) si mi planteamiento anterior es correcto hasta ahora y cómo seguiría(n) para concluir que $F(Ax)=F(x)$ en $X$ .

Answer 1

Su planteamiento es correcto. Utilice una suma telescópica para demostrar que $q(Ax-x)=0.$