¿Es posible el siguiente escenario para el estabilizador

Question

Así que estaba resolviendo un par de problemas relacionados con el estabilizador de las acciones de grupo. Me preguntaba si es posible que el núcleo de la acción de grupo sea igual a la identidad y que todos los estabilizadores de G no sean iguales a la identidad. Quiero decir que sé que tal escenario no es posible si el grupo si consideramos subgrupo abeliano de $S_A$ con una acción regular sobre los elementos de A, sin embargo no sé qué pasaría en el caso general. Parece que ese escenario sería posible incluso si lo pensamos en términos de teoría de conjuntos. Es decir, el núcleo de la acción es la intersección de todos los estabilizadores.

Answer 1

Claro. La acción habitual de $S_n$ en el plató $\{1,2,\ldots,n\}$ tiene esta propiedad. El núcleo de esta acción es trivial, ya que la acción es fiel. Sin embargo, todos los estabilizadores puntuales son canónicamente isomorfos a $S_{n-1}$ .

Answer 2

Tomemos el grupo libre de rango $2$ actuando sobre sí mismo por conjugación. Su centro es trivial por lo que la acción tiene un núcleo trivial. Sin embargo cada elemento tiene un centralizador no trivial por lo que ningún estabilizador puede ser trivial.