Si $A^2 = I$, $B^2=I$ y $(AB)^2=I$, $AB = BA$

Question

Pregunta Matriz De

Si $A^2 = I$, $B^2=I$ y $(AB)^2=I$, $AB = BA$

Básicamente, se levantó a $A(BA-AB)B = 0$ (por la cancelación y la equiparación de los términos de $I^2 = I$ $A^2B^2 = A^2B^2$ y el uso de leyes distributiva), pero que no funciona demasiado bien!

Gracias por la ayuda de antemano!

Answer 1

$$ \begin{align} \color{#C00000}{BA} &=AA(\color{#C00000}{BA})BB\\ &=\color{#00A000}{A}(ABAB)\color{#00A000}{B}\\ &=\color{#00A000}{AB} \end{align} $$

Answer 2

Multiplicando $A(BA-AB)B$ a la izquierda por $A$ y el derecho por $B$ da $$AB-BA=A^2(BA-AB)B^2=A0B=0$$ como se desee.

Answer 3

Sabemos $AA = I, BB= I, ABAB = I$. Por lo tanto $A^{-1} = A, B^{-1} = B$. Ahora $$ABAB = I \\ AB = IB^{-1}A^{1} = BA$$

Answer 4

Sugerencia: Es $BA$ el inverso de a $AB$. Cómo verificar?

Answer 5

$$BA=BAI=BA(ABAB)=B(AA)BAB=BIBAB=(BB)AB=IAB=AB$$